wyklad 15, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
15. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
1
15.
15. Równania teorii sprężystości
15.1 Zestawienie równań teorii sprężystości
Stan naprężenia i odkształcenia w dowolnym punkcie ciała jest znany, wtedy gdy znamy współrzędne
tensora naprężenia
ij
=
[
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
,
(15.1)
współrzędne tensora odkształcenia
ij
=
[
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
(15.2)
oraz współrzędne wektora przemieszczenia
u
i
=
[
u
1
u
2
u
3
]
.
(15.3)
Łącznie więc w każdym punkcie mamy 15 niewiadomych, na które składają się
1. 6 współrzędnych tensora naprężenia,
2. 6 współrzędnych tensora odkształcenia,
3. 3 współrzędne wektora przemieszczenia.
Aby wyznaczyć tych 15 niewiadomych należy dysponować 15 równaniami. Trzy pierwsze równania to
równania różniczkowe równowagi , które w zapisie wskaźnikowym mają postać
ji' j
G
i
=
0
.
(15.4)
Trzy równania po rozpisaniu będą miały postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
15. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
2
∂
11
∂
x
1
∂
21
∂
x
2
∂
31
∂
x
3
G
1
=
0
,
(15.5)
∂
12
∂
x
1
∂
22
∂
x
2
∂
32
∂
x
3
G
2
=
0
,
(15.6)
∂
13
∂
x
1
∂
23
∂
x
2
∂
33
∂
x
3
G
3
=
0
.
(15.7)
Sześć następnych równań to równania geometryczne Cauchy'ego. W zapisie wskaźnikowym mają one postać
ij
=
1
2
⋅
u
i , j
u
j ,i
.
(15.8)
Równanie (15.8) po rozpisaniu ma postać
{
∂
x
1
22
=
u
2,2
=
∂
u
2
∂
x
2
33
=
u
3,3
=
∂
u
3
(15.9)
∂
x
3
oraz
{
12
=
1
2
⋅
u
1,2
u
2,1
=
1
2
⋅
∂
u
1
dx
2
∂
u
2
dx
1
∂
u
2
23
=
1
2
⋅
u
2,3
u
3,2
=
1
2
⋅
dx
3
∂
u
3
dx
2
.
(15.10)
∂
u
1
13
=
1
2
⋅
u
1,3
u
3,1
=
1
2
⋅
dx
3
∂
u
3
dx
1
Ostatnie sześć równań to równania fizyczne lub odwrotne równania fizyczne. Dla ciała anizotropowego
równania fizyczne mają postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
11
=
u
1,1
=
∂
u
1
15. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
3
ij
=
B
ijkm
⋅
km
(15.11)
natomiast odwrotne równania fizyczne
ij
=
A
ijkm
⋅
km
.
(15.12)
We wzorach (15.11) i (15.12) B
ijkm
oraz A
ijkm
są tensorami czwartego rzędu. Pierwszy z nich nazywany jest
tensorem sztywności
natomiast drugi nazywany jest
tensorem podatności sprężystej
.
Równania fizyczne dla ciała izotropowego zapisane w postaci wskaźnikowej mają postać
ij
=
1
E
⋅
ij
−
E
⋅
ij
⋅
kk
(15.13)
natomiast odwrotne równania fizyczne mają postać
1
⋅
ij
E
⋅
1
⋅
1
−
2
⋅
⋅
ij
⋅
kk
.
(15.14)
Równania fizyczne (15.13) mają postać
E
⋅
[
11
−⋅
22
33
]
22
=
1
E
⋅
[
22
−⋅
11
33
]
33
=
1
,
(15.15)
E
⋅
[
33
−⋅
11
22
]
12
=
12
2
⋅
G
,
23
=
23
2
⋅
G
,
13
=
13
2
⋅
G
w których
G
=
E
2
⋅
1
.
(15.16)
Odwrotne równania fizyczne (15.14) mają postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
ij
=
E
11
=
1
15. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
4
11
=
E
[
11
1
−
2
⋅
⋅
11
22
33
]
,
(15.17)
22
=
E
[
22
1
−
2
⋅
⋅
11
22
33
]
,
(15.18)
33
=
E
[
33
1
−
2
⋅
⋅
11
22
33
]
,
(15.19)
12
=
2
⋅
G
⋅
12
,
23
=
2
⋅
G
⋅
23
,
13
=
2
⋅
G
⋅
13
.
(15.20)
Powyższe 15 równań muszą spełniać równania nierozdzielności odkształceń, które mają formę
ij.kl
kl ,ij
−
ik , jl
−
jl,ik
=
0
.
(15.21)
Wzór (15.21) oznacza 81 równań, z których tylko sześć jest niezależnych.
Dla i=k=1, j=l=2 równanie (15.21) będzie miało postać
2
⋅
12,12
−
11,22
−
22,11
=
0
.
(15.22)
Dla i=k=2, j=l=3 równanie (15.21) będzie miało postać
2
⋅
23,23
−
22,33
−
33,22
=
0
.
(15.23)
Dla i=k=3, j=l=1 równanie (15.21) będzie miało postać
2
⋅
31,31
−
33,11
−
11,33
=
0
.
(15.24)
Dla i=j=1, k=2, l=3 równanie (15.21) będzie miało postać
11,23
23,11
−
12,13
−
13,12
=
0
.
(15.25)
Dla i=j=2, k=3, l=1 równanie (15.21) będzie miało postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
1
⋅
1
⋅
1
⋅
15. RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI
5
22,31
31,22
−
23,21
−
21,23
=
0
.
(15.26)
Dla i=j=3, k=1, l=2 równanie (15.21) będzie miało postać
33,12
12,33
−
31,32
−
32,31
=
0
.
(15.27)
Wprowadzając symbol permutacyjny (10.35) wzór (15.21) można inaczej zapisać jako
ij
=
ji
=
e
ikm
⋅
e
jln
⋅
kl ,mn
=
0
.
(15.28)
Tensor h
ij
nazywa się
tensorem niespójności
. Równania nierozdzielności można także przedstawić w formie
macierzowej
ij
=
11
12
13
21
22
23
31
32
33
]
=
0
.
(15.29)
Współrzędne równowskaźnikowe oznaczają równania (15.22), (15.23) i (15.24). Współrzędne
różnowskaźnikowe oznaczają równania (15.25), (15.26) i (15.27).
Spełnienie równań (15.21) oznacza, że ośrodek, który był ciągły przed odkształceniem jest także ciągły po
odkształceniu. Każdemu punktowi materialnemu w konfiguracji pierwotnej odpowiada dokładnie jeden punkt
w konfiguracji aktualnej (po odkształceniu). W materiale nie powstaną więc dziury ani elementarne
prostopadłościany nie będą na siebie nachodzić.
Jak widać liczba równań, które są do dyspozycji równa się liczbie niewiadomych. Oznacza to, że problem jest
matematycznie rozwiązywalny. Problem ten wykracza jednak poza ramy niniejszego wykładu. Istnieje
natomiast szereg elementów konstrukcyjnych, dla których możliwe jest określenie współrzędnych tensora
naprężenia i odkształcenia bez konieczności rozwiązywania przedstawionego powyżej układu równań.
Równania te jednak w tych przypadkach obowiązują nadal.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
[
[ Pobierz całość w formacie PDF ]