wykład 14-przestrzenie afiniczne, Polibuda, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
PRZESTRZEŃ AFINICZNA
Definicja 1.
JJG
X zbiór
−
JJG
X
≠∅
- przestrzeń wektorowa nad ciałem K
+×
:
X X
→
( )
XX
+
,,
JJG
nazywamy przestrzenią wektorową jeżeli zachodzą:
G
0
1.
∀+=
x
x
xX
∈
G
!
xy X
vX
∀∃ +=
xv y
2.
,
∈
∈
GG
3.
∀∀ + +=+ +
( ) ( )
xv u x vu
G G G G
GGJG
xXuv X
∈ ∈
,
Definicja 1.
JJG
( )
XX
+
,,
-
przestrzeń afiniczna
- zbiór punktów tej przestrzeni afinicznej
X
- przestrzeń tą nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych w
przestrzeni afinicznej
JJG
dim
X
=
dim
X
G G
x v y
+=
v
to nazywamy wektorem zaczepionym o początku w punkcie
a końcu w y i oznaczamy:
G JJJJJGG
v y xy
=−=
PRZYKŁAD 1.
X
=
\
(zbiór punków na płaszczyźnie)
2
X
=
JJG
2
v
G
y
x
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
,
JJG
JJG
\
Wniosek:
( )
przestrzeń afiniczna to”
,,
JJG
1.
xy
+−=
JJJJJG
x y
JG JJGGG
2
J
2.
x
+=+>=
vxv vv
1
2
1
G G
3.
x
+= +=> =
vx v x x
1
2
1
2
JJGGG
4.
xy
+=
yzz
JJG JJG
5.
xy
=−
yx
Definicja 2.
JJG
(
Be
,,
)
( )
przestrzeń afiniczna
dim
X n
=
- baza
JJG
=
12
, ,...,
e e
n
∈
To zespół:
X
( )
012
ee e
n
- nazywamy układem współrzędnych z przestrzeni
afinicznej. Ustalony punkt to początek układu
współrzędnych.
UWAGA
JJG
( )
- przestrzeń afiniczna
,,
( )
0 , , ,...,
ee e
012
n
x
G
0
0
G JJJG JJJG JJJJG JJ G
.
e
JJ
∃+=
!:0
vx
v
==+++
x x e x e
.
.
x
(1)
vX
G
0
0
1 1
2 2
nn
∈
Definicja 3.
x
liczby (1) nazywamy współrzędnymi punktu X
:
=
(
xx x
12
, ,...,
n
)
- punkt
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
XX
+
XX
+
0
0
0 , , ,...,
XX
+
0
GJ
Umowa:
(
x x
1
, ,...,
x
=
x
n
)
- punkt
[
x x
1
, ,...,
x
=
v
- współrzędne wektora
n
]
Wniosek:
( )
XX
+
,,
JJG
( )
0 , , ,...,
ee e
012
n
1.
x xx x
=
(
1
, ,...,
n
)
=
JJJG JJJG
[
yyy y
(
1
, ,...,
n
)
JJG JJJG JJJG
xy x
=+=−=− − −
0 0
y
0
y
0
x y x y x
,
,...,
y x
,
]
0
0
0
0
1
1
2
2
n
n
G
2.
x xx x
=
(
1
, ,...,
)
vvv v
=
[ ]
1
, ,...,
n
n
G
x vxvxv xv
+= + + +
(
,
,...,
)
1
1
2
2
n
n
Definicja 4
JJG
(
XX
+
,,
)
przestrzeń afiniczna
YX
⊂≠
,
∅
JJG
JG
Jeżeli istnieje podprzestrzeń przestrzeni taka, że:
Y
X
JJGG
1.
∀∈
xy Y
xy Y
∈
G
2.
∀∀ + ∈
xvY
GG
∈
∈
to
( )
YY
+
,,
JG
nazywamy podprzestrzenią afiniczną
Definicja 5
JJG
Równanie parametryczne (pod)przestrzeni afinicznej.
(
XX
+
,,
)
przestrzeń afiniczna
( )
x ee e
,, ,
n
012
JJJGG
x X
∈
x xX
∈ >=+ + ++
xx tete
...
te
(2)
0
0
1 1
2 2
nn
załóżmy, że
t
i
∈
\
i
=
1, 2, 3,...,
n
to:
- punkt początkowy
x
0
- wektory kierunkowe danej przestrzeni.
e
1
, ,...,
e
(2) nazywamy równaniem parametrycznym
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
:
xY
uY
Definicja 5
I)
Dana jest przestrzeń wektorowa i
X
dim
X n
=
1)
Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy
hiperpodprzestrzenią.
2)
Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną
wektorową.
3)
Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą.
II)
Dana jest przestrzeń:
( )
dim
X n
XX
+
JJG
i
JJG
=
1)
Każdą jej podprzestrzeń n-1 wymiarową nazywamy
hiperpodprzestrzenią afiniczną.
2)
Każdą podprzestrzeń dwuwymiarową nazywamy płaszczyzną afiniczną.
3)
Każdą podprzestrzeń 1 wymiarową nazywamy prostą afiniczną.
Wniosek:
( )
RR
+
, ,
JJG
n
Dane:
o
o
o
o
o
x
=
xx x
, ,...,
x ee e
,, ,
12
n
12
n
o
xte
+ ,
1)
x
=+
1
2
t
τ∈
\
rónanie płaszczyzny afinicznej
2)
o
x v
,
o
x xtv
=+
równanie prostej afinicznej
PRZYKŁAD 2
( )
RR
+
, ,
JJG
1) Równanie płaszczyzny
o
x
=−
( )
1, 1, 0, 2, 1
u
= −
[ ]
[
2, 3,1, 4,1
x xx xx x
=
(
,,,,
)
12345
v
=− − −
1, 1, 1, 2, 3
]
(
xx xx x
12345
, , , ,
)
=− + − +−− −
JJJJJJJJJJG
2, 3,1, 4,1
(1, 1, 0, 2, 1)
t
[ ] [
τ
1, 1, 1, 2, 3
]
lub zapis:
u
= −
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
JJG
JJG
,,
n
55
2, 3, 1, 4, 1
2) równanie podprzestrzeni 1 wymiarowej (prosta afiniczna)
o
x
= −
( )
( )
JJJJJJJJJJJG
(
xx xx x
, , , ,
)
= − + − −
( )
t
( 1, 1, 1, 1, 2 )
12345
(równanie parametryczne prostej
t
∈
\
)
x
1
=−
=+
=−
=− +
=+
t
x
2
t
x
3
t
x
4
1
52
t
x
5
t
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 5
Część 14 - Przestrzenie afiniczne
JJJJJJJJJJJJG
2, 3,1, 1, 5
v
=− −
1, 1, 1, 1, 2
2, 3, 1, 1, 5
J
2
3
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]