wyklad 14, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
14. ANIZOTROPIA
1
14.
14. Anizotropia
14.1. Uogólnione prawo Hooke'a
Najogólniejszą postać związków fizycznych (13.1) i (13.2) dla ciał sprężystych (obciążonych poniżej
granicy sprężystości) stanowi wyrażenie
ij
=
A
ijkm
⋅
km
(14.1)
lub
ij
=
B
ijkm
⋅
km
'
(14.2)
w których A
ijkm
oraz B
ijkm
są tensorami czwartego rzędu. Pierwszy z nich nazywany jest
tensorem sztywności
natomiast drugi nazywany jest
tensorem podatności sprężystej
. Tensory te posiadają 81 współrzędnych,
które charakteryzują ciało anizotropowe. Tensory (14.1) i (14.2) podlegają prawu transformacji tensora
A
i' j' k ' m'
=
a
i' p
⋅
a
j' q
⋅
a
k ' r
⋅
a
m' s
⋅
A
pqrs
(14.3)
oraz
B
i' j' k ' m'
=
a
i' p
⋅
a
j' q
⋅
a
k ' r
⋅
a
m' s
⋅
B
pqrs
.
(14.4)
Równanie (14.1) można rozpisać po wskaźnikach k oraz m. Będzie ono miało postać
ij
=
A
ij11
⋅
11
A
ij12
⋅
12
A
ij13
⋅
13
A
ij21
⋅
21
A
ij22
⋅
22
A
ij23
⋅
23
A
ij31
⋅
31
A
ij32
⋅
32
A
ij33
⋅
33
.
(14.5)
Tensor naprężenia jest tensorem symetrycznym czyli można zapisać
ji
=
A
ji11
⋅
11
A
ji12
⋅
12
A
ji13
⋅
13
A
ji21
⋅
21
A
ji22
⋅
22
A
ji23
⋅
23
A
ji31
⋅
31
A
ji32
⋅
32
A
ji33
⋅
33
.
(14.6)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
14. ANIZOTROPIA
2
Porównując wzory (14.5) oraz (14.6) można stwierdzić, że
A
ij12
=
A
ji12
A
ij21
=
A
ji21
A
ij23
=
A
ji23
A
ij32
=
A
ji32
A
ij13
=
A
ji13
A
ij31
=
A
ji31
(14.7)
oraz
A
ij11
=
A
ji11
A
ij22
=
A
ji22
A
ij33
=
A
ji33
.
(14.8)
We wzorze (14.7) każde z wyrażeń zapisanych wskaźnikowo daje po 6 współczynników (dla i=j=1, i=j=2,
i=j=3, i=1 oraz j=2, i=2 oraz j=3, i=1 oraz j=3). Natomiast we wzorze (14.8) każde z wyrażeń zapisanych
wskaźnikowo daje po 3 współczynniki (i=1 oraz j=2, i=2 oraz j=3, i=1 oraz j=3). Przyjęcie we wzorze (14.8)
jednakowych wskaźników daje trywialną równość (na przykład A
1111
=A
1111
). Redukuje to liczbę współrzędnych
o
6
⋅
6
3
⋅
3
=
45
. Liczba niezależnych wskaźników tensora A
ijkm
spadła teraz do 36.
Wykorzystując pewne zależności energetyczne można wykazać, że tensor A
ijkm
jest symetryczny czyli
spełniona jest zależność
A
ijkm
=
A
ijmk
.
(14.9)
Wzór (14.5) można więc zapisać jako
ij
=
A
ij11
⋅
11
A
ij22
⋅
22
A
ij33
⋅
33
2
⋅
A
ij12
⋅
12
2
⋅
A
ij23
⋅
23
2
⋅
A
ij31
⋅
31
(14.10)
Rozpisując wzór (14.10) po wskaźnikach i oraz j otrzymano
11
=
A
1111
⋅
11
A
1122
⋅
22
A
1133
⋅
33
2
⋅
A
1112
⋅
12
2
⋅
A
1123
⋅
23
2
⋅
A
1131
⋅
31
22
=
A
2211
⋅
11
A
2222
⋅
22
A
2233
⋅
33
2
⋅
A
2212
⋅
12
2
⋅
A
2223
⋅
23
2
⋅
A
2231
⋅
31
33
=
A
3311
⋅
11
A
3322
⋅
22
A
3333
⋅
33
2
⋅
A
3312
⋅
12
2
⋅
A
3323
⋅
23
2
⋅
A
3331
⋅
31
12
=
A
1211
⋅
11
A
1222
⋅
22
A
1233
⋅
33
2
⋅
A
1212
⋅
12
2
⋅
A
1223
⋅
23
2
⋅
A
1231
⋅
31
23
=
A
2311
⋅
11
A
2322
⋅
22
A
2333
⋅
33
2
⋅
A
2312
⋅
12
2
⋅
A
2323
⋅
23
2
⋅
A
2331
⋅
31
31
=
A
3111
⋅
11
A
3122
⋅
22
A
3133
⋅
33
2
⋅
A
3112
⋅
12
2
⋅
A
3123
⋅
23
2
⋅
A
3131
⋅
31
.
(14.11)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
14. ANIZOTROPIA
3
Łącząc po dwa wskaźniki według reguły
1
=
11
2
=
22
3
=
33
4
=
12
5
=
23
6
=
31
(14.12)
można uzyskać macierz 36 współczynników
[
A
11
A
12
A
13
A
14
A
14
A
16
A
21
A
22
A
23
A
24
A
25
A
26
A
31
A
32
A
33
A
34
A
35
A
36
A
41
A
42
A
43
A
44
A
45
A
46
A
51
A
52
A
53
A
54
A
55
A
56
A
61
A
62
A
63
A
64
A
65
A
66
]
,
(14.13)
która odpowiada macierzy
[
A
1111
A
1122
A
1133
2
⋅
A
1112
2
⋅
A
1123
2
⋅
A
1131
A
2211
A
2222
A
2233
2
⋅
A
2212
2
⋅
A
2223
2
⋅
A
2231
A
3311
A
3322
A
3333
2
⋅
A
3312
2
⋅
A
3323
2
⋅
A
3331
A
1211
A
1222
A
1233
2
⋅
A
1212
2
⋅
A
1223
2
⋅
A
1231
A
2311
A
2322
A
2333
2
⋅
A
2312
2
⋅
A
2323
2
⋅
A
2331
A
3111
A
3122
A
3133
2
⋅
A
3112
2
⋅
A
3123
2
⋅
A
3131
]
.
(14.14)
Macierz (14.13) jest macierzą symetryczną czyli
A
ab
=
A
ba
.
(14.15)
Zależność (14.15) redukuje liczbę 36 niezależnych stałych materiałowych (14.13) do 21. Ogólnie można
powiedzieć, że dla
ciała anizotropowego liczba stałych materiałowych wynosi dwadzieścia jeden (21)
.
Podobne działania można przeprowadzić dla tensora podatności sprężystej. W wyniku można otrzymać
macierz
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
14. ANIZOTROPIA
4
[
B
11
B
12
B
13
B
14
B
14
B
16
B
21
B
22
B
23
B
24
B
25
B
26
B
31
B
32
B
33
B
34
B
35
B
36
B
41
B
42
B
43
B
44
B
45
B
46
B
51
B
52
B
53
B
54
B
55
B
56
B
61
B
62
B
63
B
64
B
65
B
66
]
,
(14.16)
która odpowiada macierzy
[
B
1111
B
1122
B
1133
2
⋅
B
1112
2
⋅
B
1123
2
⋅
B
1131
B
2211
B
2222
B
2233
2
⋅
B
2212
2
⋅
B
2223
2
⋅
B
2231
B
3311
B
3322
B
3333
2
⋅
B
3312
2
⋅
B
3323
2
⋅
B
3331
B
1211
B
1222
B
1233
2
⋅
B
1212
2
⋅
B
1223
2
⋅
B
1231
B
2311
B
2322
B
2333
2
⋅
B
2312
2
⋅
B
2323
2
⋅
B
2331
B
3111
B
3122
B
3133
2
⋅
B
3112
2
⋅
B
3123
2
⋅
B
3131
]
.
(14.17)
Równanie (14.2) będzie miało postać
11
=
B
1111
⋅
11
B
1122
⋅
22
B
1133
⋅
33
2
⋅
B
1112
⋅
12
2
⋅
B
1123
⋅
23
2
⋅
B
1131
⋅
31
22
=
B
2211
⋅
11
B
2222
⋅
22
B
2233
⋅
33
2
⋅
B
2212
⋅
12
2
⋅
B
2223
⋅
23
2
⋅
B
2231
⋅
31
33
=
B
3311
⋅
11
B
3322
⋅
22
B
3333
⋅
33
2
⋅
B
3312
⋅
12
2
⋅
B
3323
⋅
23
2
⋅
B
3331
⋅
31
12
=
B
1211
⋅
11
B
1222
⋅
22
B
1233
⋅
33
2
⋅
B
1212
⋅
12
2
⋅
B
1223
⋅
23
2
⋅
B
1231
⋅
31
23
=
B
2311
⋅
11
B
2322
⋅
22
B
2333
⋅
33
2
⋅
B
2312
⋅
12
2
⋅
B
2323
⋅
23
2
⋅
B
2331
⋅
31
31
=
B
3111
⋅
11
B
3122
⋅
22
B
3133
⋅
33
2
⋅
B
3112
⋅
12
2
⋅
B
3123
⋅
23
2
⋅
B
3131
⋅
31
.
(14.18)
14.2 Ciało ortotropowe
Ciało ortotropowe to takie ciało, w którym można poprowadzić trzy wzajemnie prostopadłe płaszczyzny
jego symetrii wewnętrznej. Jednoimienne płaszczyzny symetrii są zawsze do siebie równoległe. Przykładem
takiego ciała są: kompozyty wzmocnione włóknami w kształcie siatki ortogonalnej. Schemat takiego
kompozytu przedstawiono na rysunku 14.1. Ortotropię obserwuje się także w blachach metalowych
walcowanych na zimno.
Trzy wzajemnie prostopadłe osie 1, 2 i 3, które są normalne do płaszczyzn symetrii noszą nazwę
głównych
osi ortotropii
. Kartezjański układ współrzędnych X
1
X
2
X
3
przedstawiony na rysunku 14.1 pokrywa się z tymi
osiami. W przypadku materiału ortotropowego macierz (14.16) będzie miała postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
14. ANIZOTROPIA
5
3=X
3
2=X
2
Włókna wzmacniające
1=X
1
Rys. 14.1. Ciało ortotropowe.
[
B
11
B
12
B
13
0 0 0
B
21
B
22
B
23
0 0 0
B
31
B
32
B
33
0 0 0
0 0 0 B
44
0 0
0 0 0 0 B
55
0
0 0 0 0 0 B
66
]
.
(14.19)
Daje to w rezultacie następującą postać równań fizycznych
11
=
B
11
⋅
11
B
12
⋅
22
B
13
⋅
33
22
=
B
21
⋅
11
B
22
⋅
22
B
23
⋅
33
33
=
B
31
⋅
11
B
32
⋅
22
B
33
⋅
33
12
=
B
44
⋅
12
23
=
B
55
⋅
23
31
=
B
66
⋅
31
,
(14.20)
który można zapisać w postaci
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
[ Pobierz całość w formacie PDF ]