wykład 12-wartości i wektory własne, Polibuda, Matematyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wartości i wektory własne endomorfizmu (macierzy).
Diagonalizacja macierzy.
Def. 1
Z: (X, K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
f: X
J
X – endomorfizm
λ∈
K nazywamy wartością własną endomorfizmu f :
⇔
istnieje
v∈
,
v≠
taki, że
f(v)=λv
Jeżeli
λ
jest wartością własną endomorfizmu f to każdy wektor
u∈
, taki
że
f(u)=λu
nazywamy wektorem własnym endomorfizmu f odpowiadającym
wartości własnej
λ
.
Λ
- zbiór wartości własnych nazywamy widmem endomorfizmu.
X : {v X:f(x)=λv}
Twierdzenie 1
Z: (X, K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
f: X
J
X – endomorfizm
λ
- wartość własna endomorfizmu
T: (X
λ
, K,+,
⋅
) – jest podprzestrzenią przestrzeni X
Def. 2
(X
λ
, K,+,
⋅
) – nazywamy przestrzenią własną endomorfizmu f.
Wniosek: dimX
λ
≥1
Przykład 1
Z:
+⋅
\
\
+⋅
-zbiór funkcji różniczkowalnych
C
∞
C
∞
D(f) = f’
λ∈
\
f: f(x) = a
⋅
e
λ
x
a – ustalona liczba
(D(f))(x)
f’(x) =
λ
ae
λ
x
(D(f))(x) =
λ
ae
λ
x
=
λ⋅
f(x)
Np. Dla
λ
=3: X
3
={f: f(x) = a
⋅
e
3x
, a
∈
}
\
Twierdzenie 2
Z: (X, K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
f: X
J
X – endomorfizm
T: Jeden niezerowy wektor własny endomorfizmu odpowiada dokładnie
jednej wartości własnej.
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 1 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
λ
=∈
(C , , , )
∞
\
\
(C , , , )
∞
D:
J
B=(e , e ,..., e )
- baza
A=M
f
(B,B)
T:
λ∈
K jest wartością własną endomorfizmu
⇔
det(A -
λ
I)=0
12
n
Def. 3
Z: A
n
×
n
=[a
ij
] – macierz
λ
- nazywamy wartością własną macierzy A :
⇔
det(A -
λ
I)=0.
λ ⋅ =
nazywamy wektorem własnym macierzy A dopowiadającym wartości
własnej
λ
macierzy A.
Wniosek:
1.
A=M
f
(B, B) Np. f: K
n
→
K
n
λ
- jest wartością własną macierzy A
⇔
jest wartością własną
e
ndomorfizmu f.
2.
x
- jest wektorem własnym odpowiadającym wartości własnej
λ
macierzy A
⇔
jest wektorem własnym odpowiadającym wartości
własnej
λ
endomorfizmu.
Uwaga
Ze względu na ścisły związek między
λ
endomorfizmu, a
λ
macierzy
wszystkie twierdzenia udowodnione dla endomorfizmu są prawdziwe dla
macierzy.
Def. 4
a
"
a
10
"
0
a λ a
11
−
12
"
a
1n
11
1n
01 0
#
a
a λ
−
#
det(A-λI)=det(
#%#
−
λ
)dt
010
=
21
22
=
#
# %
a
"
a
n1
nn
0
"
0 1
a
"
a
a λ
−
n1
nn-1
nn
=
±λ+βλ+βλ+...+βλ+β (λ
n-1
n-2
= ∆
n-1
n-2
1
0
∆
- nazywamy wielomianem charakterystycznym macierzy A
(endomorfizmu).
Wartości własne macierzy (endomorfizmu) są pierwiastkami jego
wielomianu charakterystycznego.
(λ
Uwaga
Wartości własne endomorfizmu nie zależą od wyboru bazy przestrzeni (są
niezmiennikami endomorfizmu).
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 2 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
Twierdzenie 3
Z: (X, K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
f: X
J
X – endomorfizm
dimX=n
Jeśli
λ
jest wartością własną macierzy A to każdy wektor
x: (A- I) x 0
Przykład 2
120
A= 0 2 0
-2 -2 -1
f:
R
(baza kanoniczna)
3
→
3
1-
λ
2
0
∆=
( ) det(A- I)= 0 2-
λ
λ
λ
0
=− −−−
(2 )(1 )( 1 )
λ λ
λ
-2
-2 -1-
λ
∆=⇔=∨=∨=−
() 0
λ λ λ λ
1
2
2
1
3
1
k =1 k =1 k =1
1
2
3
Szukamy przestrzeni własnych.
Dla
λ
=2
-1 2 0 x 0
000 x 0
-2 -2 -3 x
⋅ =
1
2
0
3
Zbiór rozwiązań powyższego równania to przestrzeń własna.
-x 2x 0
-2x 2x 3x 0
1
+
2
=
−−=
1
2
3
-x 2x 0
-6x 3x 0
1
+
2
=
−=
2
3
x2
x
x2
1
=
=
=−
α
α
α
2
3
R
Analogiczne rozumowanie należy przeprowadzić dla pozostałych wartości
λ
.
Twierdzenie 4
Z: (X,K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
f: X
→
X endomorfizm
λ
1
,
λ
2
,...,
λ
p
:
λ
i
≠λ
j
⇒
i
≠
j
λ
i
– wartości własne endomorfizmu
v , v ,..., v : v ≠
-wektory własne odpowiadające wartościom własnym
λ
i
12
p i
T:
v , v ,..., v
p
- są liniowo niezależne
12
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 3 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
Czyli: X
2
={(2
α
,
α
,-2
α
)}={
α
(2,1,-2)
α∈
}
Def. 5
(X,K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
f: X
→
X endomorfizm
f – nazywamy endomorfizmem diagonalizowalnym :
⇔
istnieje B – baza
przestrzeni X, względem której macierz tego endomorfizmu jest
diagonalna,
Diagonalizowalność
Twierdzenie 5
Z: (X,K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa
f: X
→
X endomorfizm
T: f – jest endomorfizmem diagonalizowalnym
⇔
w przestrzeni X istnieje
baza złożona z wektorów własnych tego endomorfizmu.
Wnioski:
(X,K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa f: X
→
X endomorfizm
1.
Jeśli endomorfizm f jest diagonalizowalny to w macierzy M
f
(B,B) na
przekątnej głównej znajdują się (niekoniecznie różne) wartości własne
endomorfizmu, a poza tym elementami macierzy są zera.
2.
Warunkiem wystarczającym, ale nie koniecznym diagonalizowalności
endomorfizmu jest, aby miał w przestrzeni n – wymiarowej n –
wartości własnych.
Def. 6
A
n
×
n
– o elementach z ciała K nazywamy diagonalizowalną jeżeli jest
podobna do pewnej macierzy diagonalnej (
∃
P – nieosobliwa
∧
∃
D –
diagonalna takie, że: D=P
-1
⋅
A
⋅
P)
Wniosek:
A=M
f
(B,B) f - endomorfizm
1.
Z def. 2 wynika, że A jest diagonalizowalna
⇔
f jest endomorfizmem
diagonalizowalnym.
2.
Ze względu na ścisły związek macierzy i endomorfizmów twierdzenia
dotyczące twierdzenia dotyczące diagonalizwalności endomorfizmu są
prawdziwe dla macierzy i na odwrót.
Przykład 3
-1 0 -1
A= 3 2 3
-3 0 1
Sprawdzić, czy A – diagonalizowalna.
-1-λ 0-1
1 λ -1
det(A-λI)= 3
2-λ 3(2λ)(-1)
=−
2+2
(2 λ)(λ+2)
-3
1 λ
-3
0 1-λ
λ
1
=2 k
1
=2
λ
2
=-2 k
2
=1
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 4 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
−−
=−
−
λ
2
=-2
-1 0 -1 x 0
323 x 0
-3 0 1
⋅ =
1
2
x
0
3
x -x 0
3x 4x 3x 0
3x +3x 0
1
3
=
x -x 0
4x 6x 0
0 0
1
3
=
−
++=
+ =
1
2
3
2
3
1
2
=
=
x α
x α
x α
3
=
=−
3
2
2
1
=
X α(1,- ,1), α }
=
3
∈
R
-2
2
dim X
-2
=1
λ
1
=2
-3 0 -1 x 0
303 x 0
-3 0 -1 x
⋅ =
1
2
0
3
-3x -x 0
3x 3x 0
-3x -x 0
1
3
=
x0
x0
x β
3
=
+=
=
1
3
1
1
3
=
2
=
X
2
={
β
(0,1,0),
β∈
}
R
dim X
2
=1
Wniosek: Macierz nie jest diagonalizowalna ponieważ w nie istnieje
baza wektorów własnych.
R
3
Twierdzenie 6
Z: (X,K,+,
⋅
) – przestrzeń wektorowa dim X=n
f: X
→
X endomorfizm
∆(λ)=±(λ-λ ) λ-λ ) ... (λ-λ )
k
1
k
2
⋅⋅
k
p
1
2
p
λ
i
≠
λ
j
⇒
i
≠
j
k
1
+k
2
+...+k
p
=n
≤
T
2
: (WKW) f – jest diagonalizowalny
⇔
∀
i=1,2,...,p: dim X
λ
i
=k
i
i=1,2,...,p: 1 dim X
≤
i
λ i
k
Przykład 4
-1 0 -1
323
-3 0 1
A=
∆
(
λ
)=det(A-
λ
I)=-(
λ
-2)
2
(
λ
+4)
Wykład dr Magdaleny Sękowskiej
strona 5 z 6
Część 12 –Wartości i wektory własne
T
1
:
∀
[ Pobierz całość w formacie PDF ]