wyklad 12, Budownictwo PK, Wytrzymałość materiałów
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
1
12.
12. Analiza stanu odkształcenia
12.1. Składowe stanu odkształcenia
Każda konstrukcja budowlana pod wpływem obciążenia doznaje odkształceń, które objawiają się
zmianą kształtu i wymiarów elementów budowlanych. Rysunek 12.1 przedstawia odkształcony pod wpływem
sił czynnych (P
1
, P
2
i P
3
) i biernych (R
1
i R
2
) element konstrukcji.
P
3
P
2
X
3
P
1
A'
R
2
A
X
2
R
1
X
1
Rys. 12.1. Odkształcony element konstrukcji.
Odkształcenia zostaną opisane za pomocą współrzędnych w konfiguracji pierwotnej (przed odkształceniem).
Na rysunku 12.1 punkt A po odkształceniu przemieścił się o
wektor przemieszczenia
u
A
do punktu A'.
Wektor przemieszczenia można wyrazić jako
u
A
=
u
1
A
⋅e
1
u
2
A
⋅e
2
u
3
A
⋅e
3
.
(12.1)
Możemy wyróżnić dwa rodzaje odkształceń:
1. Odkształcenia objętościowe, które powodują zmianę objętości bez zmiany postaci.
2. Odkształcenia postaciowe, które powodują zmianę kształtu (postaci).
Aby określić stan odkształcenia w punkcie należy rozpatrzyć równowagę elementarnego prostopadłościanu o
wymiarach dx
1
, dx
2
i dx
3
, który będzie obciążony tensorem naprężenia (11.4). Jak zostanie pokazane w
następnym wykładzie zależność między naprężeniami a odkształceniami jest liniowa, czyli jeżeli naprężenia
wzrosną dwa razy to i odkształcenia wzrosną dwa razy. Jeżeli skutek (odkształcenia) są liniową funkcją
przyczyny (naprężenia) to można zastosować
zasadę superpozycji
, czyli rozpatrywać osobno działanie
naprężeń normalnych s
11
, s
22
, s
33
i naprężeń stycznych s
12
, s
23
, s
13
. Na koniec należy tylko zsumować skutki.
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
2
Zakładając, że naprężenia normalne są dodatnie (rozciągające) będą one powodowały zwiększenie długości
krawędzi prostopadłościanu. Na rysunku 12.2 przedstawiono elementarny prostopadłościan pod wpływem
działania naprężeń normalnych. Zmiany długości krawędzi zostały pokazane na rzutach prostopadłościanu na
trzy płaszczyzny.
dx
2
D
dx
2
X
3
22
P
22
X
2
dx
2
D
dx
2
X
1
Rys. 12.2. Odkształcenia objętościowe.
Jak widać na rysunku 12.2 zmiany długości krawędzi wynoszą Ddx
1
, Ddx
2
, Ddx
3
. Taki stan odkształcenia
można jednoznacznie opisać za pomocą trzech wielkości
11
=
dx
1
,
(12.2)
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
dx
1
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
3
22
=
dx
2
dx
2
,
(12.3)
33
=
dx
3
dx
3
.
(12.4)
Wielkości (12.2), (12.3) i (12.4) nazywamy
odkształceniami liniowymi
. Odkształcenia liniowe mogą
przyjmować wartości dodatnie, ujemne oraz zero.
Zmianie długości krawędzi towarzyszy zmiana objętości. Zmianę tą nazywa się
odkształceniem
objętościowym
. Objętość prostopadłościanu przed odkształceniem wynosiła
dV
=
dx
1
⋅
dx
2
⋅
dx
3
.
(12.5)
Po odkształceniu objętość prostopadłościanu wynosi
dV
dV
=
dx
1
dx
1
⋅
dx
2
dx
2
⋅
dx
3
dx
3
.
(12.6)
Wzór (12.6) będzie miał postać
dV
dV
=
dx
1
⋅
1
dx
1
dx
1
⋅
dx
2
⋅
1
dx
2
dx
2
⋅
dx
3
⋅
1
dx
3
dx
3
.
(12.7)
Uwzględniając wzory (12.2), (12.3), (12.4) i (12.5) wzór (12.7) będzie miał postać
dV
dV
=
dV
⋅
1
11
⋅
1
22
⋅
1
33
.
(12.8)
Wzór (12.8) można przekształcić do postaci
dV
dV
dV
=
1
11
22
33
11
⋅
22
11
⋅
33
22
⋅
33
11
⋅
22
⋅
33
.
(12.9)
Odkształcenia są wielkością małą natomiast ich iloczyny są wielkościami małymi wyższego rzędu. W związku
z tym możemy pominąć człony zawierające iloczyny odkształceń. Wzór (12.9) będzie miał postać
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
4
dV
dV
=
11
22
33
.
(12.10)
Wielkość po lewej stronie równania nazywa się
względnym odkształceniem objętościowym lub dylatacją
.
Jak widać jest ona sumą wszystkich liniowych odkształceń.
Odkształcenie prostopadłościanu wynikające z działania naprężeń stycznych wiąże się ze zmianą kształtu lub
inaczej zmianą postaci. Zmianie ulegają kąty nachylenia krawędzi prostopadłościanu bez zmiany ich długości.
X
3
23
32
23
13
P
12
13
X
2
12
12
X
1
Rys. 12.3. Odkształcenia postaciowe.
Miarą zmiany postaci prostopadłościanu są trzy kąty. Pierwszy z nich w płaszczyźnie X
1
X
2
12
=
12
12
.
(12.11)
Drugi z nich w płaszczyźnie X
2
X
3
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
12. ANALIZA STANU ODKSZTAŁCENIA
5
23
=
23
23
.
(12.12)
Trzeci z nich w płaszczyźnie X
1
X
3
13
=
13
13
.
(12.13)
Interpretacją tych kątów jest różnica między kątem prostym w konfiguracji początkowej a kątem ostrym w
konfiguracji aktualnej (odkształconej).
Stan odkształcenia w punkcie opisują trzy składowe odkształcenia liniowego e
11
, e
22
, e
33
oraz trzy składowe
odkształcenia postaciowego g
12
, g
13
, g
23
.
12.2 Równania geometryczne Cauchy'ego
W rozdziale tym zostaną podane zależności pomiędzy współrzędnymi wektora przemieszczenia a
składowymi stanu odkształcenia.
Rysunek 12.4 przedstawia rzut elementarnego prostopadłościanu na płaszczyznę X
1
X
2
.
Odkształcenie liniowe e
11
wynosi
11
=
∣
P' A
''
∣−
∣
PA
∣
∣
PA
∣
,
(12.14)
w którym
∣
P A
∣=
dx
1
(12.15)
oraz
∣
P' A''
∣=
dx
1
u
1
∂
u
1
∂
x
1
⋅
dx
1
−
u
1
=
dx
1
∂
u
1
∂
x
1
⋅
dx
1
.
(12.16)
Ostatecznie odkształcenie liniowe e
11
wynosi
∂
x
1
⋅
dx
1
−
dx
1
dx
1
=
∂
u
1
.
(12.17)
11
=
∂
x
1
Prof. dr hab. inż. Andrzej Garstecki
Dr inż. Janusz Dębiński
AlmaMater
dx
1
∂
u
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]