wyklad (1), mgr, PROJEKTY AUTOMATYKA, Project automatyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Matematyka stosowanaTeoria sterowaniaMirosław Andrzej LACHOWICZlachowic@mimuw.edu.plUniwersytet Warszawski, 2012Streszczenie.Wykład jest wstępem do współczesnej teorii sterowania. Teo-ria jest ilustrowana licznymi przykładami z ekonomii, biologii, medycy-ny, fizyki i techniki. Wykład uzupełniają rozdziały z zadaniami (napisa-ny przez T. Cieślaka) i z zastosowaniami w ekonomii (napisany przez A.Wiszniewską–Matyszkiel)Wersja internetowa wykładu:(może zawierać dodatkowe materiały)Niniejsze materiały są dostępne nalicencji Creative Commons 3.0 Polska:Uznanie autorstwa — Użycie niekomercyjne — Bez utworów zależnych.Copyright c M.Lachowicz, Uniwersytet Warszawski, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki, 2012. Ni-niejszy plik PDF został utworzony 11 września 2012.Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramachEuropejskiego Funduszu Społecznego.ASkład w systemie L TEX, z wykorzystaniem m.in. pakietówbeamerorazlistings.Szablony podręcznika i prezentacji:Piotr Krzyżanowski; koncept: Robert Dąbrowski.Spis treści1. Wstęp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2. Sterowalność. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4. Sterowalność dla układów nieliniowych493. Obserwowalność. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265. Zasada bang–bang. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306. Zagadnienie optymalnego sterowania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357. Liniowe zagadnienie czaso–optymalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378. Istnienie sterowania optymalnego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.1. Zagadnienie Mayera. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518.2. Zagadnienie Bolzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549. Zasada Maksimum Pontriagina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5810.Zadania. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10.1. Sterowalność — rozdział 2. . . . . . . . . . . .10.2. Obserwowalność — rozdział 3. . . . . . . . . . .10.3. Sterowania bang-bang. . . . . . . . . . . . . . .10.4. Sterowalność ukladów nieliniowych — rozdział 410.5. Zasada maksimum — rozdziały 7, 9. . . . . . .10.6. Przykłady. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......................................................................................................................................................................................666667676768697373757778808182828311.Optymalne sterowanie w przypadku ustalonego czasu końcowego. Warunkikonieczne i dostateczne oraz zastosowania ekonomiczne. . . . . . . . . . . . . . . .11.1. Zasada maksimum Pontriagina dla ustalonego czasu końcowego. . . . . . . . . . . . .11.2. Dostateczność dla zasady maksimum Pontriagina. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.3. Dyskontowanie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4. Funkcja wartości i równanie Bellmana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4.1. Nieskończony horyzont czasowy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.4.2. Funkcja wartości i równanie Bellmana dla zagadnień z dyskontowaniem. . . .11.5. Teoria sterowania – problemy ekonomiczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.1. Optymalizacja konsumpcji w cyklu życia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.2. „Chcemy wygrać następne wybory!” czyli polityczny cykl koniunkturalny. . .11.5.3. Wydobycie surowców nieodnawialnych przez właściciela – monopolistę. ModelHotellinga. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.5.4. Łowimy ryby, wycinamy puszczę – czyli exploatacja surowców odnawialnych.. . 84. . 85Literatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87Teoria sterowania c M.Lachowicz, Uniwersytet Warszawski, 2012.1. WstępTeoria sterowania (z Wikipedii):„Pożądaną wartość wyjścia układu nazywamy wartością zadaną. Kiedy od jednego lub więcejwyjść układu wymagamy specyficznego zachowania się w czasie, regulator próbuje manipulowaćwejściem układu tak, aby jego wyjście zachowywało się w pożądany sposób. Jako przykład po-służy nam sterowanie samochodem, przy czym zależy nam na utrzymaniu stałej jego prędkości.W tym przypadku układem jest samochód, wielkością wyjściową układu - prędkość, wielkościąwejściową - przesunięcie pedału gazu, a wartością zadaną - pożądana prędkość.”„Controltheory is an interdisciplinary branch of engineering and mathematics,that deals with the behavior of dynamical systems. The desired output of a system iscalled the reference. When one or more output variables of a system need to followa certain reference over time, a controller manipulates the inputs to a system toobtain the desired effect on the output of the system.”„Fieldof applied mathematics that is relevant to the control of certain phy-sical processes and systems. Although control theory has deep connections withclassical areas of mathematics, such as the calculus of variations and the theoryof differential equations, it did not become a field in its own right until the late1950s and early 1960s. At that time, problems arising in engineering and economicswere recognized as variants of problems in differential equations and in the calculusof variations, though they were not covered by existing theories. At first, specialmodifications of classical techniques and theories were devised to solve individualproblems. It was then recognized that these seemingly diverse problems all had thesame mathematical structure, and control theory emerged.”Z książki [37]:„Mathematicalcontrol theory is the area of application–oriented mathematicsthat deals with the basic principles underlying the analysis and design of controlsystems. To control an object means to influence its behavior so as to achieve adesired goal. In order to implement this influence, engineers build devices that in-corporate various mathematical techniques. These devices range from Watt’s steamengine governor, designed during the English Industrial Revolution, to the sophi-sticated microprocessor controllers found in consumer items — such as CD playersand automobiles — or in industrial robots and airplane autopilots.”Francuski:R´gulationeWłoski:Teoria del controlloNiemiecki:Regelungstheorie (Kontrolltheorie)Czeski:Teorie ˇizenirHiszpański:Teoria del controlInformacje ogólne:Teoria sterowania c M.Lachowicz, Uniwersytet Warszawski, 2012.5Kod przedmiotu: 1000-135TST Kod SOCRATES: 11103 Nazwa przedmiotu: Teoria stero-waniaPunkty ECTS i inne: 6.00Rodzaj przedmiotu: fakultatywne Założenia: Analiza matematyczna II, równania różniczko-we zwyczajneKrótki opis: Wykład jest wstępem do współczesnej teorii sterowania. Teoria jest ilustrowanalicznymi przykładami z ekonomii, biologii, medycyny, fizyki i techniki.Plan wykładu:Zagadnienie sterowaniaZagadnienie sterowania optymalnegoKlasy sterowaniaPrzykłady z ekonomii, biologii, medycyny, fizyki i technikiTwierdzenia o lokalnej i globalnej (całkowitej) sterowalności dla układów liniowych i nieli-niowych6. Zasada „bang–bang” dla układów liniowych7. Liniowe zagadnienie sterowania optymalnego, szczególny przypadek Zasady Maksimum Pon-tragina, istnienie sterowania czaso–optymalnego8. Zasada Maksimum PontraginaNotatki te są głównie oparte na podręcznikach————Macki, Strauss [30],Evans [18],Pontryagin, Boltyansky, Gamkrelidze, Mishchenko [35],Bressan, Piccoli [13]1.2.3.4.5.oraz w mniejszym stopniu na— Knowles [26],— Hocking [22].Ponadto gorąco zachęcam czytelnika do przejrzenia następującej literatury: [1,2, 7, 8, 10,12, 17, 19, 23, 24, 27, 28, 32, 37, 38, 40, 41].Niektóre dowody nie są przytoczone, a czytelnik jest odesłany do odpowiedniej literatury.Nie oznacza to jednak, że są to dowody w jakimś sensie „mniejważne”:stanowią one istotnączęść wykładu. Takie dowody będą oznaczane symbolem♣. Koniec dowodu będzie oznaczany.Historia:por. [3]; [37], str. 22; [6], str. 4; [19], str. 2–3, 124–128.— Christiaan Huygens (1629–1695), holenderski matematyk i fizyk, zajmował się zegaramiwahadłowymi i badał sterowanie prędkością,— James Clerk Maxwell (1831–1879), szkocki fizyk i matematyk, analiza dynamiki regulatoraodśrodkowego obrotów (centrifugalgovernor),— Edward John Routh (1831–1907), matematyk angielski, uogólnienie wyników Maxwella naogólny układ liniowy,— Adolf Hurwitz (1859–1919), matematyk niemiecki, badanie stabilności: twierdzenie Routha--Hurwitza,— Alexander Lyapunov (1857–1918), matematyk rosyjski, teoria stabilności (stabilitythe-ory),
[ Pobierz całość w formacie PDF ]