wykład 09, Budownictwo PK, Fizyka
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
wykład 9 BL 2008/09
5. Opis fali mechanicznej cd. 5.2. Równanie fali
Falą mechaniczną
nazywamy zaburzenia rozchodzące się
w ośrodkach sprężystych w postaci impulsu lub drgań.
kierunek propagacji fali
przemieszczenie
r
W przypadku zaburzenia rozchodzącego się wzdłuż osi
x
z prędkością
v
w prawo, jeśli jego kształt nie zmienia się w czasie, będzie to funkcja:
(
t
,
)
(
t
x
v
)
v
vt
v
t=
0
t>
0
(
x
)
x
x
A rozchodzącego się w lewo:
(
t
x
v
)
1
Najogólniej falę opisuje
funkcja falowa
: (równanie fali)
wykład 9 BL 2008/09
Zróżniczkujmy dwukrotnie tę ogólną funkcje falową względem
x
oraz
t
:
x
v
'
t
x
,
'
'
x
x
,
v
'
'
x
x
,
x
x
x
'
t
x
t
'
2
2
2
v
2
,
2
.
2
'
2
x
x
t
2
x
'
2
Z połączenia powyższych równości dostaniemy
równanie falowe:
2
1
2
.
x
2
v
2
t
2
Uwaga
: ponieważ funkcja zależy od dwu zmiennych,
obliczamy pochodną cząstkową względem x:
x
t
const
traktując t jak stałą. Podobnie z pochodną względem
czasu t.
2
5.3. Fale harmoniczne
wykład 9 BL 2008/09
W szczególnym przypadku, gdy każdy element ośrodka drga ruchem
harmonicznym prostym, mamy do czynienia
z
falą harmoniczną
.
x
ustalone, drgania elementu są
drganiami harmonicznymi prostymi
:
(
t
/
)
A
sin(
π2
ft
)
,
f
1
T
T
- częstość kołowa
π2
f
A
t
ft
π2
- faza
Funkcja falowa fali harmonicznej może być zapisana w postaci:
(
x
,
t
)
A
sin
(
x
v
t
)
A
sin
2
x
2
t
T
gdzie
A
jest amplitudą fali,
–
fazą początkową,
- długością fali,
zdefiniowaną jako odległość, między dwoma najbliższymi punktami
przestrzeni, w których fazy funkcji
danej chwili
t
są identyczne.
3
2
Najczęściej korzystamy z postaci:
wykład 9 BL 2008/09
(
x
t
)
t
A
sin
(
kx
)
k
=2
/
– liczba falowa
Funkcja falowa spełnia równanie falowe
2
1
2
.
x
2
v
2
t
2
t
ustalone
(
x
)
x
A
sin[(
2
/
)
]
A
x
Przedstawiona fala harmoniczna w ustalonej chwili
t
ma kształt
sinusoidalny i cechuje ją okresowość przestrzenna,
.
Faza funkcji falowej:
t
2
v
(
x
)
t
kx
Prędkość fali jest prędkością przemieszczania się
powierzchni stałej fazy. Stąd nazywamy ją
prędkością fazową
.
v
T
/
4
,
wykład 9 BL 2008/09
5.4. Moc w ruchu falowym
Rozważmy falę harmoniczną wzbudzaną w ośrodku sprężystym
(np. w strunie) przez zewnętrzne źródło.
Skoncentrujmy uwagę na elemencie ośrodka o długości
x
i masie
m
.
Porusza się on ruchem harmonicznym z częstością
i o amplitudzie
A.
Jego całkowita energia w ruchu harmonicznym:
,
E
1
A
(
2
m
)
2
2
E
1
A
(
2
)
2
,
- masa na jednostkę długości
2
Obliczmy szybkość przepływu energii :
P
śr
dE
1
2
A
2
1
2
A
v
.
dt
2
dt
2
Wyrażenie, które otrzymaliśmy odpowiada
mocy średniej
wydatkowanej
w czasie jednego okresu drgań.
(Trzeba sobie jednak zdawać sprawę, że szybkość przepływu energii nie
jest stała, bowiem moc pobierana oscyluje. Bardziej zaawansowana
metoda obliczeniowa prowadzi do wyrażenia:
P
dE
2
A
2
v
cos
2
(
kx
t
).
dt
5
x
2
dx
[ Pobierz całość w formacie PDF ]