wykad wywazanie 2, PW MEiL, Teoria maszyn i mechanizmów 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
7 Wyważanie maszyn i mechanizmów
Na ogół podczas ruchu maszyn lub mechanizmów w parach kinematycznych
występują pewne reakcje dynamiczne wywołane działaniem sił i momentów sił bezwładności.
Reakcje te poprzez łożyska ruchomej maszyny przenoszone są często na fundament
i wywołują szkodliwe zjawiska takie jak drgania, obniżenie trwałości urządzeń, hałas, etc.
Dlatego w większości wypadków staramy się te niepożądane reakcje częściowo lub
całkowicie usunąć. Już w fazie projektowania staramy się tak rozmieścić masy, aby siły
bezwładności bez potrzeby nie obciążały mechanizmu. Praktycznie jednak usuwamy te siły
dopiero w fazie prób i badań gotowej maszyny. Postępowanie takie wymaga stosowania
odpowiednich urządzeń, zwanych wyważarkami.
Rozróżnia się zwykle dwa odmienne zadania:
•
Wyrównoważenie wirujących członów.
•
Wyrównoważenie maszyn.
Pierwszy przypadek dotyczy sprowadzenia do zera reakcji dynamicznych działających
na łożyska wirującego członu. W drugim przypadku dąży się do ograniczenia reakcji
dynamicznych przenoszonych na podstawę maszyny, godząc się przy tym często ze
zwiększeniem sił w parach kinematycznych nie związanych z podstawą.
7.1 Wyważanie mas w ruchu obrotowym wokół nieruchomej osi
Na rysunku 7.1 pokazano sztywny człon wirujący z prędkością kątową ω (składowa
z
)
oraz przyspieszeniem kątowym ε (składowa
z
) wokół osi
z
0
nieruchomego, inercjalnego
układu odniesienia π
0
związanego z podstawą. Z wirującym członem zwiążemy lokalny układ
odniesienia π
1
w taki sposób, że oś
z
1
pokrywa się stale z osią
z
0
globalnego układu
odniesienia. Kąt obrotu członu względem podstawy oznaczymy przez ϕ
0,1
. Możemy założyć,
że człon umocowany jest na osi w dwóch łożyskach umieszczonych w punktach A i B. Siły
bezwładności działające na wirujący człon powodują powstanie sił reakcji w łożyskach A i B,
nazywanych reakcjami dynamicznymi. Z równowagi kinetostatycznej wynika, że gdyby siły
bezwładności i ich momenty względem jakiegoś punktu były równe zero, to reakcje
dynamiczne byłyby także równe zero.
Zbadamy warunki, przy jakich siły i ich momenty są zerowe. Postąpimy
w następujący sposób:
•
Obliczymy siły bezwładności działające na element masy
dm
w punkcie
D
członu
sztywnego
.
Masa wiruje w płaszczyźnie równoległej do płaszczyzny
xy
układu
globalnego, dlatego posłużymy się wzorami dla ruchu płaskiego.
•
Obliczymy momenty sił bezwładności działających na element
dm
, wyznaczając je
względem początku globalnego układu odniesienia. W obliczeniach tych wykorzystamy
zależności dla przestrzennego układu sił i momentów.
•
Obliczymy wypadkową siłę bezwładności i wypadkowy moment sił bezwładności
działające na obracający się wirnik.
•
Obliczymy siły reakcji dynamicznych działających w łożyskach i sformułujemy warunki,
przy których reakcje te są równe zero.
Prawa zastrzeżone © J.Frączek, M. Wojtyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione
1
Przyspieszenie punktu
D
członu sztywnego w ruchu płaskim złożonym możemy
wyznaczyć ze wzoru (uwzględniamy tylko składowe
x
i
y
- wektory są dwuwymiarowe):
s
(
0
)
=
−
R
0
1
s
(
ϕ
&
&
2
+
ΩR
0
1
s
(
ϕ
.
(7.1)
0
,
0
,
W takim razie siły bezwładności w układzie globalnym działające na element o masie
dm
możemy obliczyć ze wzoru:
(
d
F
(
0
=
−
s
(
0
)
dm
=
−
−
R
0
1
s
(
ϕ
&
2
+
ΩR
0
1
s
(
ϕ
)
dm
=
R
0
1
s
(
ϕ
&
2
dm
−
ΩR
0
1
s
(
ϕ
dm
=
b
0
,
0
,
0
,
0
,
(7.2)
=
R
0
1
s
(
ω
2
dm
−
ΩR
0
1
s
(
ε
dm
.
y
1
( )
n
y
0
d
F
b
d
F
b
( )
y
S
A
S
A
D
r
D
( )
x
S
dm
A
A=O
x
1
( )
t
y
D
d
F
s
b
r
C
z
D
ϕ
0,1
(
y
S
α
S
B
C
h
B
x
0
x
D
ω
( )
x
S
B
ε
B
Rysunek 7.1. Rozkład sił bezwładności i sił reakcji w obracającym się wirniku.
z
0
=
z
1
Znacznie wygodniej jest wyrazić siłę bezwładności w lokalnym układzie odniesienia
związanym z członem (wykorzystując łatwą do udowodnienia bezpośrednim rachunkiem
zależność
Ω
(
R
1
)
T
ΩR
0
1
=
):
() ()(
)
d
F
(
=
R
0
1
T
d
F
(
0
)
=
R
0
1
T
R
0
1
s
(
ω
2
dm
−
ΩR
0
1
s
(
ε
dm
=
b
b
(7.3)
=
() ()
R
0
1
T
R
0
1
s
(
ω
2
dm
−
R
0
1
T
ΩR
0
1
s
(
ε
dm
=
s
(
ω
2
dm
−
Ωs
(
ε
dm
.
Zauważmy, że dzięki zapisaniu siły
d
F
b
w układzie odniesienia π
1
, obracającym się
wraz z członem, w ostatniej równości wzoru (7.3) nie pojawia się macierz kosinusów
kierunkowych. Wyrażenie opisujące siłę
(
b
Pierwszy z członów siły bezwładności danej wzorem (7.3) nazywa się niekiedy siłą
odśrodkową (albo składową normalną), natomiast drugi składową styczną siły bezwładności.
Składowe te są wzajemnie prostopadłe. Przyjmiemy następujące oznaczenia:
( ) ( )
t
d
F
(
=
s
(
ω
2
dm
−
Ωs
(
ε
dm
=
d
F
(
+
d
F
(
.
(7.4)
b
b
n
b
Można łatwo sprawdzić, że:
( )
⎡
x
(
⎤
⎡
s
cos
α
⎤
d
F
(
=
s
(
ω
2
dm
=
⎣
D
⎦
ω
2
dm
=
ω
2
dm
,
⎣
⎦
(7.5)
b
n
y
(
s
sin
α
D
2
Prawa zastrzeżone © J.Frączek, M. Wojtyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione
&
)
&
&
&
0
d
F
jest więc takie samo, niezależnie od tego,
o jaki kąt ϕ
0,1
układ π
1
jest w rozpatrywanej chwili obrócony względem układu π
0
.
( )
⎡
−
0
1
⎤
⎡
x
(
⎤
⎡
y
(
⎤
⎡
s
sin
α
⎤
d
F
(
=
−
Ωs
(
ε
dm
=
−
D
ε
dm
=
D
ε
dm
=
ε
dm
.
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
b
t
1
0
y
(
−
x
(
−
s
cos
α
D
D
y
są współrzędnymi punktu
D
w lokalnym układzie odniesienia,
s
oznacza
długość wektora
s
(1)
, a kąt α jest pokazany na rysunku 7.1.
x
i
(
D
(
D
Obliczymy teraz momenty od tych sił względem początku układu
O
, wyrażone
konsekwentnie w lokalnym układzie odniesienia. Od tej pory jednak analizę będziemy
prowadzić w trzech wymiarach, mamy bowiem do czynienia z przestrzennym układem sił.
Otrzymujemy ze znanych wzorów:
⎡
0
−
z
(
y
(
⎤
⎛
⎡
x
(
⎤
⎡
y
(
⎤
⎞
D
D
⎜
D
D
⎟
( )
~
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
(
(
(
(
(
(
2
(
d
M
=
r
d
F
=
z
0
−
x
⎜
y
ω
+
−
x
⎟
ε
dm
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
b
O
D
b
D
D
⎜
D
D
⎟
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
y
(
x
(
0
0
0
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
D
D
⎝
⎠
(7.6)
⎡
−
y
(
z
(
ω
2
+
x
(
z
(
ε
⎤
D
D
D
D
⎢
⎥
=
⎢
x
(
z
(
ω
2
+
y
(
z
(
ε
⎥
dm
.
D
( )
D
D
D
()()
2
2
⎢
−
x
(
+
y
(
ε
⎥
⎣
⎦
D
D
Dla obliczenia wypadkowych sił bezwładności i momentów sił bezwładności
pochodzących od całego członu można scałkować obie strony równań (7.5) i (7.6) względem
masy członu (lub jego objętości, jeśli zamiast masy wykorzysta się iloczyn gęstości
i różniczki objętości). W rezultacie otrzymuje się wzory końcowe:
⎡
mx
(
ω
2
+
my
(
ε
⎤
⎡
−
J
(
ω
2
+
J
(
ε
⎤
C
C
yz
xz
⎢
⎥
,
( )
⎢
⎥
F
(
=
⎢
my
(
ω
2
−
mx
(
ε
⎥
M
(
=
⎢
J
(
ω
2
+
J
(
ε
⎥
.
(7.7)
b
C
C
b
O
xz
yz
⎢
0
⎥
⎢
−
J
(
ε
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
z
We wzorze (7.7) wykorzystano znane wzory dla momentów statycznych oraz
momentów bezwładności wyrażonych w lokalnym, ruchomym układzie odniesienia:
(
∫
x
=
(
dm
mx
,
∫
y
(
dm
=
my
(
,
C
C
m
m
(7.8)
( )
( ) ( )
J
(
=
∫
x
(
z
(
dm
,
∫
J
(
=
y
(
z
(
dm
,
J
(
=
∫
x
(
2
+
y
(
2
dm
.
xz
yz
z
m
m
m
y
są współrzędnymi środka masy
C
członu w lokalnym układzie odniesienia,
a
m
oznacza masę całego członu.
x
i
(
(
Zauważmy, że siła i moment dane wzorami (7.7) zależą jedynie od prędkości kątowej
ω i przyspieszenia kątowego ε wirnika względem podstawy (pozostałe występujące we
wzorze wielkości są stałe), nie zależą natomiast od tego, jaki jest kąt obrotu ϕ
0,1
wirnika
względem podstawy. Kolokwialnie, lecz obrazowo można stwierdzić, że wypadkowa siła
bezwładności i moment sił bezwładności „obracają się razem z wirnikiem”. Gdybyśmy
zapisali siłę
F
b
i moment
M
b
w układzie odniesienia związanym z podstawą, uzyskalibyśmy
znacznie bardziej skomplikowane wzory, uwzględniające aktualne położenie kątowe wirnika
względem podstawy. Teraz jest jasne, dlaczego do zapisu równań wykorzystaliśmy ruchomy,
związany z wirnikiem układ odniesienia.
Prawa zastrzeżone © J.Frączek, M. Wojtyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione
3
gdzie
gdzie
Zwróćmy uwagę, że składowa
z
momentów sił bezwładności (taka sama w układzie π
0
i π
1
) jest równoważona przez moment napędowy wirnika i nie wywołuje reakcji
dynamicznych w łożyskach.
Obliczymy teraz, wywołane wyznaczonymi siłami bezwładności, reakcje dynamiczne
S
A
oraz
S
B
, jakimi podstawa oddziałuje poprzez łożyska na wirnik. Składowe te w obu
łożyskach pokazano na rysunku 7.1. Ponownie, dla wygody, obliczenia prowadzić będziemy
w układzie ruchomym (wirującym) π
1
. Składowa
z
wypadkowej siły bezwładności jest
zerowa, poszukiwane siły reakcji w łożyskach możemy zatem zapisać tak:
( ) ( )
S
(
=
[
S
(
S
(
0
]
T
,
S
(
=
[
( ) ( )
S
(
S
(
0
]
T
.
(7.9)
A
A
x
A
y
B
B
x
B
y
Do obliczenia sił reakcji wykorzystamy równania równowagi kinetostatycznej.
Równania zapiszemy w lokalnym układzie odniesienia związanym z członem. Równania
równowagi sił i momentów (które zapiszemy względem początku układu
O = A)
możemy
zapisać w postaci:
S
(
+
S
(
+
F
(
=
0
,
(7.10)
A
B
b
~
(
S
(
+
~
r
(
S
(
+
(
M
(
)
+
T
(
=
0
.
(7.11)
A
A
B
B
b
O
gdzie przez
T
(
=
[ ]
T
0 τ
0
(
oznaczono moment napędowy działający na wirnik.
Najpierw weźmiemy pod uwagę równanie momentów (7.11). Z rysunku 7.1 wynika,
oraz
[ ]
T
że
r
=
(
A
0
r
(
=
0
0
h
,
możemy zatem napisać:
( )
( )
B
⎡
−
0
h
0
⎤
⎡
S
(
⎤
⎡
−
J
(
ω
2
+
J
(
ε
⎤
⎡
0
⎤
⎢
B
x
⎥
⎢
yz
xz
⎥
~
~
⎢
⎥
⎢
⎥
r
(
S
(
+
r
(
S
(
+
(
M
(
)
+
T
(
=
h
0
0
S
(
+
J
(
ω
2
+
J
(
ε
+
0
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
A
A
B
B
b
O
B
y
xz
yz
⎢
⎥
⎢
⎥
(
(
⎢
0
0
0
⎥
0
−
J
ε
⎢
τ
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
z
(7.12)
( )
( )
⎡
S
(
h
−
J
(
ω
2
+
J
(
ε
⎤
⎢
B
y
yz
xz
⎥
=
⎢
S
(
h
+
J
(
ω
2
+
J
(
ε
⎥
=
0
.
B
x
xz
yz
3
×
1
⎢
−
J
(
ε
+
τ
(
⎥
⎣
z
⎦
Z trzeciego równania układu (7.12) wynika, że moment napędowy równoważy
składową
z
wypadkowego momentu sił bezwładności. Z dwóch pierwszych równań wynika
natomiast, że:
( )
( )
( )
( )
⎡
S
(
⎤
⎡
−
J
(
ω
2
+
J
(
ε
h
⎤
B
x
=
xz
yz
.
⎢
⎥
⎢
⎥
(7.13)
S
(
J
(
ω
2
−
J
(
ε
h
⎣
⎦
⎣
⎦
B
y
yz
xz
Z równań sił układu (7.10) (dla składowych
x
i
y
) otrzymujemy, po uwzględnieniu
zależności (7.7) i (7.13):
( )
⎡
( )
( )
J
(
ω
2
+
J
(
ε
h
−
mx
(
ω
2
−
my
(
ε
⎤
S
(
=
−
S
(
+
F
(
=
xz
yz
C
C
.
⎢
⎥
(7.14)
A
B
b
−
J
(
ω
2
−
J
(
ε
h
−
my
(
ω
2
+
mx
(
ε
⎣
⎦
yz
xz
C
C
Wzory (7.14) pozwalają na sformułowanie warunków, które muszą być spełnione, aby
reakcje dynamiczne były równe zero w dowolnej rozpatrywanej chwili. Aby wyrażenia (7.14)
były stale równe zero musi zachodzić:
x
(
=
0
,
y
(
=
0
(7.15)
4
Prawa zastrzeżone © J.Frączek, M. Wojtyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione
r
oraz
J
(
=
0
,
J
(
=
0
.
(7.16)
xz
yz
Zatem warunki na to, aby wirujący wirnik nie powodował reakcji dynamicznych
można sformułować następująco:
•
Oś obrotu
z
musi przechodzić przez środek masy członu C. Człon, który spełnia ten
warunek jest
wyrównoważony co do środka masy
, a oś obrotu nazywa się
centralną
.
W praktyce warsztatowej taki przypadek nazywa się też
wyważeniem statycznym.
•
Momenty dewiacyjne muszą być równe zero. Warunek ten jest spełniony, gdy oś obrotu
z
jest
główną osią bezwładności
. Człon, który wiruje dookoła swojej głównej osi
bezwładności jest
wyrównoważony co do osi głównych
.
Jeśli spełnione są oba warunki jednocześnie, to oś obrotu jest
główną centralną osią
bezwładności
, a układ jest
wyrównoważony dynamicznie
. Jak powiedziano wcześniej,
składowa
z
momentu jest równa zeru tylko wtedy, gdy przyspieszenie kątowe wirnika jest
zerowe, lecz nie ma ona wpływu na niewyrównoważenie układu.
Zauważmy też, że mnożąc równania (7.15) przez masę wirnika
m
otrzymamy
zależności dla momentów statycznych, zazwyczaj wygodniejsze w obliczeniach:
0
S
(
=
m
x
(
=
,
S
(
=
m
y
(
=
0
.
(7.17)
x
C
y
C
Biorąc pod uwagę równania (7.16) i (7.17) możemy zatem stwierdzić, że wirnik jest
wyrównoważony dynamicznie wtedy, kiedy momenty statyczne
S
i
(
x
S
oraz momenty
(
y
J
, liczone względem układu odniesienia π
1
o osi
z
pokrywającej się
z osią obrotu wirnika, są zerowe.
J
i
(
xz
(
yz
W zadaniach poglądowych dotyczących wyważania wirujących wirników sztywnych
często analizuje się przypadek, gdy wirnik składa się z układu
n
wirujących mas punktowych
przedstawionych na rysunku 7.2. Przedstawione powyżej rozumowanie można powtórzyć dla
takiego przypadku bez istotnych zmian. Należy tylko podstawić do wzorów odpowiednie
zależności dla momentów statycznych i dewiacyjnych. Momenty statyczne oraz momenty
dewiacyjne układu mas punktowych względem układu ruchomego oblicza się następująco:
∑∑
=
n
n
∑∑
=
n
n
mx
(
=
m
x
(
=
m
s
cos
α
,
my
(
=
m
y
(
=
m
s
sin
α
,
C
i
i
i
i
i
C
i
i
i
i
i
i
1
i
=
1
i
1
i
=
1
(7.18)
n
n
n
n
J
(
=
∑
m
x
(
z
(
=
∑
z
(
m
s
cosα,
J
(
=
∑
m
y
(
z
(
=
∑
z
(
m
s
sinα.
xz
i
i
i
i
i
i
i
yz
i
i
i
i
i
i
i
i
=
1
i
=
1
=
1
=
1
Prawa zastrzeżone © J.Frączek, M. Wojtyra. Kopiowanie bez zgody autorów zabronione
5
dewiacyjne
i
i
[ Pobierz całość w formacie PDF ]