wyk 05A, Geometria wykreślna, Tematy, wyklady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
//-->Scriptiones GeometricaVolumen I (2014), No. 5A, 1–17.Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskichn zpowierzchnie 05AE. Ko´niewskizZaklad Informacji Przestrzennej1. O krzywych i powierzchniachDotychczas zajmowali´my si¸ gl´wnie odwzorowaniem prostej i plaszczyzny oraz obiektami,se okt´re daja¸ si¸ zlo˙ y´ z figur zawartych w plaszczy´nie, maj¸cych laman¸ jako brzeg. Opisy-oa ez czaawali´my je tak˙ e analitycznie. Rozwa˙ ali´my r´wnie˙ znane ze szkoly powierzchnie: sto˙ ek,szz sozzwalec i sfer¸. Obecnie zajmiemy si¸krzywymiipowierzchniamiw og´lniejszym sensie. Anal-eeoitycznie krzyw¸ zapisuje si¸ za pomoc¸ukladu r´wna´ parametrycznych:aeaonx=x(t), y=y(t), z=z(t),(1)gdzie parametrt∈<t1, t2>a funkcjex=x(t), y=y(t), z=z(t)s¸ ci¸gle we wsp´lnyma aoprzedziale okre´lono´ci. Podobnie powierzchnie opisuje si¸ za pomoc¸ ukladu funkcji ci¸glych,sseaatym razem dwu zmiennych (parametr´w):ox=x(u, v), y=y(u, v), z=z(u, v),(2)o parametrachu∈<u1, u2>, v∈<v1, v2>.Og´lny opis powierzchni jest przedmiotemodyscypliny matematycznej zwanejtopologi¸, bardziej szczeg´lowy ale i zaw¸zony opis nale˙ yaoe˙zdogeometrii r´zniczkowej.W geometrii i grafice in˙ ynierskiej m´wi si¸ o krzywych i powierzch-o˙zoeniach, kt´re maj¸ zastosowanie w technice, w szczeg´lno´ci w budownictwie i architekturze.oao s2. Niekt´re sposoby tworzenia powierzchnioPowierzchnie cz¸sto otrzymuje si¸ przez tzw.zakre´lanie przestrzeni,czyli przez przemieszczanieees1krzywej wzdlu˙ pewnejtrajektorii.z2.1. Zakre´lanie przez obr´t - powierzchnie obrotowesoZal´zmy, ze dana jesto´ obrotu(ang.axis of revolution)orazkrzywa definiuj¸ ca(ang.patho˙˙sacurve).Na rysunku 5A-01 jako krzyw¸ definiuj¸c¸ przyj¸to prost¸ sko´n¸ do osi obrotu iaa aeas aotrzymano powierzchni¸ zwan¸hiperboliod¸ jednopowlokow¸(obrotow¸ ).eaaaaEdwin Ko´niewski c 2014 Politechnika Bialostocka, Bialystokz2E. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, powierzchnie 05Azn zRys. 5A-01: Spos´b tworzenia hiperboloidy obrotowej poprzez obr´t prostej dokola innej prostejoosko´nej. Hiperboloida otrzymana poprzez obr´t prostej -krzywej tworz¸cej(ang.path curve)dokolasoaprostej -osi obrotu(ang.axis of revolution)Je´li osi¸ obrotu krzywej opisanej r´wnaniami (1) jest o´ Oz ukladu wsp´lrz¸dnych, tosaoso er´wnania opisuj¸ce powierzchni¸ maj¸ posta´:oaeacx=x2(t) +y2(t)cosu,y=x2(t) +y2(t)sinu,z=z(t), t∈<t1, t2>, u∈<u1, u2> .(3)Ka˙ dy punkt (o wsp´lrz¸dnychx=x(t), y=y(t), z=z(t))krzywej definiuj¸cej obraca si¸ pozo eaeRys. 5A-02: Powierzchnia torusa zrealizowana w programie AutoCAD.okr¸gu zwanymr´wnole˙ nikiem.Powierzchni¸ t¸ mo˙ na utworzy´ za pomoc¸ programu Au-eoze ezcatoCAD przy u˙ yciu funkcji REVSURF (ang.surface of revolution)przy warto´ci parametr´wzsoSURFTAB1=n1(n1- liczba powiele´ krzywej definiuj¸cej -poludnik´ww przypadku krzywejnaoplaskiej le˙ acej w plaszczy´nie osi obrotu), SURFTAB2=n2(n2- liczba okr¸g´w zakre´lonychz¸ze osprzez wybrane punkty obrotu -r´wnole˙ nik´w).Gdy krzyw¸ definiuj¸c¸ jest prosta - to woz oaa azale˙ no´ci od jej polo˙ enia wzgl¸dem osi obrotu otrzymujemy:z sze-powierzchni¸ sto˙ ka(obrotowego), je´li prosta definiuj¸ca przecina o´ obrotu (powierzchniaezsasznana z geometrii szkolnej),1Krzywa opisuj¸ ca ruch punktu w kinematyceaE. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, powierzchnie 05Azn z3-powierzchni¸ walca(obrotowego), je´li prosta definiuj¸ca jest r´wnolegla do osi obrotuesao(powierzchnia znana z geometrii szkolnej),-powierzchni¸ hiperboloidy(obrotowej), je´li prosta definiuj¸ca jest sko´na wzgl¸dem osiesaseobrotu (rys. 5A-01).Gdy krzyw¸ definiuj¸c¸ jest okr¸g - to w zale˙ no´ci od jej polo˙ enia wzgl¸dem osi obrotuaa aaz szeotrzymujemy:-sfer¸, je´li ´rodek okr¸gu le˙ y osi obrotu (powierzchnia znana z geometrii szkolnej),es sez-powierzchni¸ pier´cieniow¸(torus)2, je´li ´rodek okr¸gu nie le˙ y na osi obrotu (w zasadzieesas sezprzyjmuje si¸, ze okr¸g le˙ y w plaszczy´nie osi obrotu i odleglo´´ ´rodka okr¸gu jest wi¸kszae ˙azzsc seeod promienia okr¸gu3) (rys. 5A-02).e2.2. Zakre´lanie przez przesuni¸cie - powierzchnie walcoweseDana jestkrzywa definiuj¸ ca(ang.path curve, defining curve)orazwektor kierunkowy(ang.adirection vector)(rys. 5A-03). Powierzchnia jest zbiorem prostych (w AutoCADzie jestto zbi´r odcink´w) przecinaj¸cych krzyw¸ definiuj¸c¸. R´wnania takiej powierzchni, przyooaaa aozalo˙ eniu, ze liczbya, b, cs¸ wsp´lrz¸dnymi wektora przesuni¸cia za´ krzywa definiuj¸ca maz˙ao eesar´wnania (1) maj¸ posta´:oacx=x(t)+au, y=y(t)+bu, z=z(t)+cu, t∈<t1, t2>, u∈<u1, u2> .(7)Przedzial< u1, u2>w praktycznych zastosowaniach, np. w komputerowej grafice inynierskiejjest ograniczony, natomiast formalnie jest zbiorem wszystkich lizcb rzeczywistych.2.3. Zakre´lanie przez ruch ´rubowy - powierzchnie ´rubowesssDana jestkrzywa definiuj¸ ca(ang.path curve, defining curve)orazwektor kierunkowy(ang.adirection vector), k¸ t obrotu(ang.angle of revolution).Na rysunku 5A-05 krzyw¸ definiuj¸c¸aaa ajest odcinek. Powierzchnia otrzymana za pomoc¸ ruchu ´rubowego odcinka (prostej) nazywaassi¸powierzchni¸ ´rubow¸lubhelikoid¸. Krzyw¸, kt´r¸ wyznacza koniec odcinka nazywamyeasaaaoalini¸ ´rubow¸(rys. 5A-05a3). Przy zalo˙ eniu, ze odcinek ma dlugo´´a,za´ skok linii ´rubowejasaz˙scssma dlugo´´br´wnania linii ´rubowej w odpowiednio przyj¸tym ukladzie maj¸ posta´:sc oseacbt, t∈<0, 2π>,2πx=acost, y=asint, z=2(8)Je´li, w pewnym ukladzie wsp´lrz¸dnych, okr¸ g o r´wnaniachso eaox=b+acosϑ, z=asinϑ, ϑ∈<0, 2π>,< a < b.(4)obraca si¸ dokola osi Oz, to powstaje powierzchnia zwanatorusem,kt´rej r´wnania parametryczne s¸ postacieooax=bcosϕ+acosϑcosϕ, x=bsinϕ+acosϑsinϕ, z=asinϕ, ϑ∈<0, 2π>, ϕ∈<0, 2π>,< a < b.Jest to powierzchnia stopnia 4, gdy˙ daje si¸ ona, po eliminacji parametr´w, przedstawi´ r´wnaniemzeoc o(x2+y2+z2−a2−b2)2= 4b2(a2−z2)(6)(5)i istniej¸ proste przecinaj¸ ce t¸ powierzchni¸ w czterech punktach.aaee3W praktyce projektowania architektonicznego korzysta si¸ r´wnie˙ z powierzchni pier´cieniowych, gdziee ozswarunek odleglo´ci ´rodka okr¸gu od osi obrotu nie jest spelniony, np. przy projektowaniu kopul (por. rys.s se5B-17).4E. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, powierzchnie 05Azn zRys. 5A-03: Powierzchnia walcowa otrzymana przez przesuni¸ciekrzywej tworz¸cej(ang.patheacurve)wzdlu˙odcinka - wektora kierunkowego(ang.direction vector)zi helikoidy:x= (acost)u,y= (asint)u,z=bt, t∈<0, 2π>, u∈<0, 1> .2π(9)W przypadku opisuj¸cym helikoid¸ powstal¸ przez obr´t prostej w opisie parametrycznymaeaoparametruprzebiega caly zbi´r liczb rzeczywistych. Przez eliminacj¸ parametr´w otrzymu-oeo2πzjemy r´wnanie powierzchni ´rubowej w postaci jawnej:y=xtgb.os2.4. Elipsa jako obraz okr¸gu w powinowactwieeSpo´r´d r´znych definicji elipsy na uwag¸ zasluguje taka, wedlug kt´rej elipsa jest obrazems o o˙eookr¸gu w powinowactwie. Przygl¸dnijmy si¸ tej sytuacji rozwi¸zuj¸c nast¸puj¸ce zadanie.eaea ae aZadanie 1Skonstruowa´ elips¸ jako obraz okr¸gu w powinowactwie okre´lonym przez o´ k iceesspar¸ odpowiadaj¸ cych sobie punkt´w(Oo, Oe) (rys. 5A-07a).eaoRozwi¸ zaniezadania 1opisane zostalo na rysunkach 5A-07÷5A-11. Pokazano tam kon-astrukcj¸ punktu elispy jako obrazu dowolnie wybranego punktu na okr¸gu w stosownie do-eebranym powinowactwie. Powinowactwo to mo˙ e by´ zadane zupelnie dowolnie. Jednakzcstosowny wyb´r czyni cal¸ konstrukcj¸ bardziej eleganck¸ i, jak si¸ wydaje, zdecydowanieoaeaebardziej przyjazn¸ wykonawcy. Konstrukcj¸ tak¸ mo˙ na powtarza´ dowoln¸ liczb¸ razy.aeazcaeWielokrotne stosowanie takiej metody byloby jednak do´´ uci¸zliwe nawet przy zalo˙ niu,sca˙eze byloby realizowane na komputerze. W praktyce przyjmuje si¸ inny, o wiele prostszy, al-˙egorytm konstrukcji wynikaj¸cy z wlasno´ci okr¸gu i powinowactwa jako odwzorowania geom-aseetrycznego. Jest to tzw.konstrukcja siatkowa(rys. 5A-12). Rzecz ciekawa, ze konstrukcja˙ta mo˙ e by´ wykorzystana w implementacji komputerowej. Implementacja taka zostala zre-zcalizowana, gdy˙ standardowe aplikacje programu AutoCAD zawieraj¸ funkcje rysuj¸ce elips¸zaaeE. Ko´niewski: Geometria odwzorowa´ in˙ ynierskich, powierzchnie 05Azn z5Rys. 5A-04: Ruch w przestrzeni powstaly przez zlo˙ enie dw´ch ruch´w: obrotowego i post¸powegozooe(w sensie geometrycznym jest to superpozycja dwu przeksztalce´: obrotu i przesuni¸cia)neRys. 5A-05: Ksztaltowanie powierzchni ´rubowej (tzw.helikoidy)poprzez zlo˙ enie obrotu z prze-szsuni¸ciemetylko w oparciu o jej osie, nie posiadaj¸ natomiast polece´ realizuj¸cych konstrukcje elipsy wanaoparciu o ´rednice sprz¸zone oraz funkcji rysuj¸cych hiperbol¸ i parabol¸4.se˙aeeProcedury rysuj¸ ce elips¸, parabol¸ i hiperbol¸ zrealizowano w j¸zyku AutoLISP (E. Ko´niewski:Nakladkiaeeeez˙´na AutoCAD’a STOZKOWE I WIELOSCIANY wspomagaj¸ce realizacj¸ rysunk´w technicznych i nauczanieaeo4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]