wzory, Zarządzanie (studia) Uniwersytet Warszawski - dokumenty, statystyka matematyczna
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Statystykamatematyczna.Wzory.
e.synowka@wmie.uz.zgora.pl
100(1
¡®
)%przedziaÃlyufno´scidlawybranychparametr´ow.
P1.Niech
X
1
;X
2
;:::;X
n
b¸edziepr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
N
(
¹;¾
2
)
;
gdzie
¹2
R,a
¾
jestznan¸aliczb¸adodatni¸a.
µ
X¡z
®=
2
¾
p
n
·¹·X
+
z
®=
2
¾
p
n
¶
P
=1
¡®
P2.Niech
X
1
;X
2
;:::;X
n
b¸edziepr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
N
(
¹;¾
2
)
;
gdzie
¹2
R,a
¾>
0
:
µ
S
p
n
·¹·X
+
t
n¡
1
;®=
2
S
p
n
¶
P
X¡t
n¡
1
;®=
2
=1
¡®
P3.Niech
X
1
;X
2
;:::;X
n
b¸edziepr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
N
(
¹;¾
2
)
;
gdzie
¹2
R,a
¾>
0
:
Ã
!
(
n¡
1)
S
2
Â
2
n¡
1
;®=
2
·¾
2
·
(
n¡
1)
S
2
Â
2
n¡
1
;
1
¡®=
2
P
=1
¡®
P4.Niech
X
1
;X
2
;:::;X
n
b¸edziepr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
b
(1
;p
)
;
gdzie
p2
(0
;
1).
0
q
q
1
X
(1
¡X
)
p
n
·p·X
+
z
®=
2
X
(1
¡X
)
p
n
P
@
X¡z
®=
2
A
¡¡¡!
n!1
1
¡®
P5.Niech(
X
1
;Y
1
)
;
(
X
2
;Y
2
)
;:::;
(
X
n
;Y
n
)b¸ed¸awzajemnieniezale˙znymiparamiobserwacjiotakichsamychrozkÃladach
normalnych(wdanejparzezmiennemog¸aby´czale˙zne).Je˙zeli
X
i
»N
(
¹
1
;¾
2
1
)oraz
Y
i
»N
(
¹
2
;¾
2
2
)
;
tozmienna
D
i
=
X
i
¡Y
i
»N
(
¹
1
¡¹
2
;¾
2
D
)
:
µ
D¡t
n¡
1
;®=
2
S
D
p
n
·¹
D
·D
+
t
n¡
1
;®=
2
S
D
p
n
¶
P
=1
¡®
gdzie
D
=
1
n
P
n
i
=1
D
i
oraz
S
D
=
q
1
n¡
1
P
n
i
=1
(
D
i
¡D
)
2
:
P6.Niech
X
11
;X
12
;:::;X
1
n
1
b¸edziepr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
N
(
¹
1
;¾
2
1
)orazniech
X
21
;X
22
;:::;X
2
n
2
b¸edzieniezale˙zn¸a
pr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
N
(
¹
2
;¾
2
2
)
:
P6.1
¾
2
1
oraz
¾
2
2
s¸aznane.
0
s
s
1
P
@
X
1
¡X
2
¡z
®=
2
¾
2
1
n
1
+
¾
2
2
n
2
·¹
1
¡¹
2
·X
1
¡X
2
+
z
®=
2
¾
2
1
n
1
+
¾
2
2
n
2
A
=1
¡®
P6.2
¾
2
1
oraz
¾
2
2
nies¸aznane,ales¸ar´owne,tzn.
¾
2
1
=
¾
2
2
=
¾
2
.
µ
r
1
n
1
+
1
r
1
n
1
+
1
¶
P
X
1
¡X
2
¡t
n
1
+
n
2
¡
2
;®=
2
S
p
n
2
·¹
1
¡¹
2
·X
1
¡X
2
+
t
n
1
+
n
2
¡
2
;®=
2
S
p
=1
¡®;
n
2
n
1
+
n
2
¡
2
.
P6.3
¾
2
1
oraz
¾
2
2
nies¸aznane,ales¸anies¸asobier´owne.
0
@
X
1
¡X
2
¡z
®=
2
s
s
1
A
¡¡¡!
P
S
2
1
n
1
+
S
2
2
n
2
·¹
1
¡¹
2
·X
1
¡X
2
+
z
®=
2
S
2
1
n
1
+
S
2
2
n
2
n!1
1
¡®
P7.Niech
X
11
;X
12
;:::;X
1
n
1
b¸edziepr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
N
(
¹
1
;¾
2
1
)orazniech
X
21
;X
22
;:::;X
2
n
2
b¸edzieniezale˙zn¸a
pr´ob¸alosow¸azrozkÃladu
N
(
¹
2
;¾
2
2
)
:
µ
S
2
2
S
2
1
F
n
1
¡
1
;n
2
¡
1
;
1
¡®=
2
·¾
2
2
=¾
2
1
·
S
2
2
¶
P
S
2
1
F
n
1
¡
1
;n
2
¡
1
;®=
2
=1
¡®
z}|{
E
S
B
|{z}
gdzie
S
2
p
=
(
n
1
¡
1)
S
2
1
+(
n
2
¡
1)
S
2
2
Statystykamatematyczna.Wzory.
e.synowka@wmie.uz.zgora.pl
Testyzgodno´sci.
T1.Testchi-kwadratPearsona.Niech
X
1
;X
2
;:::;X
n
b¸edziepr´ob¸azrozkÃladuodystrybuancieF.
a)
H
o
:
F
X
=
F
o
vs
H
1
:
F
X
6
=
F
o
:
Niech
k
X
p
i
=
P
H
o
(
X2I
i
)
;
gdzie
p
i
=1
:
i
=1
Statystykatestowa
Â
2
=
n
k
X
p
i
=
k
X
(
n
i
¡np
i
)
2
np
i
i
=1
i
=1
maprzyzaÃlo˙zeniuprawdziwo´scihipotezy
H
o
asymptotycznie(tzn.przy
n!1
)rozkÃladchi-kwadratz
k¡
1
stopniamiswobody.
Hipotez¸e
H
o
nale˙zyodrzuci´cnakorzy´s´chipotezy
H
1
,gdy
Â
2
e
>Â
2
k¡
1
;®
:
b)
H
o
:
F
X
2F
o
vs
H
1
:
F
X
=2F
o
;
gdzie
F
o
=
fF
µ
:
µ2
£
g
Niech
k
X
p
i
=
P
H
o
(
X2I
i
)
¼P
b
µ
(
X2I
i
)
;
gdzie
p
i
=1
:
i
=1
Statystykatestowa
Â
2
=
n
k
X
p
i
=
k
X
(
n
i
¡np
i
)
2
np
i
i
=1
i
=1
maprzyzaÃlo˙zeniuprawdziwo´scihipotezy
H
o
asymptotycznierozkÃladchi-kwadratz
k¡m¡
1stopniami
swobody,gdzie
m
jestliczb¸aszacowanychparametr´ow.
Hipotez¸e
H
o
nale˙zyodrzuci´cnakorzy´s´chipotezy
H
1
,gdy
Â
2
e
>Â
2
k¡m¡
1
;®
:
Warunkistosowaniatestuchi-kwadrat:
(w1)liczebno´s´cpr´obyjestdu˙za,
(w2)
np
i
¸
5dlaka˙zdego
i
=1
;
2
;:::;k:
Je˙zeliwarunek(w2)niejestspeÃlniony,toÃl¸aczymymniejliczneklasy
zesob¸aiponawiamyprocedur¸e.
T2.TestKoÃlmogorowa-Smirnowa.Niech
X
1
;X
2
;:::;X
n
b¸edziepr´ob¸azrozkÃladuoci¸agÃlejdystrybuancieF.
a)
H
o
:
F
X
=
F
o
vs
H
1
:
F
X
6
=
F
o
:
1)Porz¸adkujemyniemalej¸acoobserwacje:
x
(1)
·x
(2)
·:::·x
(
n
)
:
Nast¸epnieobliczamy
2)
d
+
n
=max
1
·i·n
¯
¯
i
n
¡F
o
(
x
(
i
)
)
¯
¯
; d
¡
n
=max
1
·i·n
¯
¯
F
o
(
x
(
i
)
)
¡
i¡
1
n
¯
¯
oraz
d
n
=max(
d
+
n
;d
¡
n
)
:
3)Je˙zeli
d
n
>d
n;®
;
toodrzucamy
H
o
napoziomieistotno´sci
®:
b)
H
o
:
F
X
2F
o
vs
H
1
:
F
X
=2F
o
;
gdzie
F
o
=
fF
µ
:
µ2
£
g
TestH.Lillieforsa:wprzypadkuweryfikowaniahipotezy
H
o
,˙zedanapr´obaprostapochodzizpopulacjio
rozkÃladzienormalnym,dlakt´orego
µ
=(
¹;¾
2
)
0
1)Porz¸adkujemyniemalej¸acoobserwacje:
x
(1)
·x
(2)
·:::·x
(
n
)
:
Nast¸epnieobliczamy
2)
d
+
n
=max
1
·i·n
¯
¯
i
n
¡F
b
µ
(
x
(
i
)
)
¯
¯
; d
¡
n
=max
1
·i·n
¯
¯
F
b
µ
(
x
(
i
)
)
¡
i¡
1
n
¯
¯
oraz
d
n
=max(
d
+
n
;d
¡
n
)
:
3)Je˙zeli
d
n
>d
n;®
;
toodrzucamy
H
o
napoziomieistotno´sci
®:
z}|{
E
S
B
|{z}
(
n
i
n
¡p
i
)
2
(
n
i
n
¡p
i
)
2
Statystykamatematyczna.Wzory.
e.synowka@wmie.uz.zgora.pl
Parametrycznetestyistotno´sci.
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
¹
=
¹
o
¹>¹
o
(1
0
)
¹·¹
o
¹>¹
o
¾=
p
n
»N
(0
;
1)
T
e
>z
®
(2)
¹
=
¹
o
¹<¹
o
(2
0
)
¹¸¹
o
¹<¹
o
¾=
p
n
»N
(0
;
1)
T
e
<¡z
®
(3)
¹
=
¹
o
¹6
=
¹
o
¾=
p
n
»N
(0
;
1)
jT
e
j>z
®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
¹
=
¹
o
¹>¹
o
(1
0
)
¹·¹
o
¹>¹
o
S=
p
n
»t
n¡
1
T
e
>t
n¡
1
;®
(2)
¹
=
¹
o
¹<¹
o
(2
0
)
¹¸¹
o
¹<¹
o
S=
p
n
»t
n¡
1
T
e
<¡t
n¡
1
;®
(3)
¹
=
¹
o
¹6
=
¹
o
S=
p
n
»t
n¡
1
jT
e
j>t
n¡
1
;®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
p
=
p
o
p>p
o
(1
0
)
p·p
o
p>p
o
X¡p
o
q
p
o
(1
¡p
o
)
n
¼N
(0
;
1)
T
e
>z
®
(2)
p
=
p
o
p<p
o
(2
0
)
p¸p
o
p<p
o
X¡p
o
q
p
o
(1
¡p
o
)
n
¼N
(0
;
1)
T
e
<¡z
®
(3)
p
=
p
o
p6
=
p
o
X¡p
o
q
p
o
(1
¡p
o
)
n
¼N
(0
;
1)
jT
e
j>z
®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
) Obszarkrytyczny
(1)
¾
2
=
¾
2
o
¾
2
>¾
2
o
(1
0
)
¾
2
·¾
2
o
¾
2
>¾
2
o
(
n¡
1)
S
2
¾
2
o
»Â
2
n¡
1
T
e
>Â
2
n¡
1
;®
(2)
¾
2
=
¾
2
o
¾
2
<¾
2
o
(2
0
)
¾
2
¸¾
2
o
¾
2
<¾
2
o
(
n¡
1)
S
2
¾
o
2
»Â
2
n¡
1
0
<T
e
<Â
2
n¡
1
;
1
¡®
(
n¡
1)
S
2
(3)
¾
2
=
¾
2
o
¾
2
6
=
¾
2
o
¾
o
2
»Â
2
n¡
1
0
<T
e
<Â
2
n¡
1
;
1
¡®=
2
lub
T
e
>Â
2
n¡
1
;®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
¹
D
=
d
o
¹
D
>d
o
(1
0
)
¹
D
·d
o
¹
D
>d
o
S
D
=
p
n
»t
n¡
1
T
e
>t
n¡
1
;®
(2)
¹
D
=
d
o
¹
D
<d
o
(2
0
)
¹
D
¸d
o
¹
D
<d
o
S
D
=
p
n
»t
n¡
1
T
e
<¡t
n¡
1
;®
(3)
¹
D
=
d
o
¹
D
6
=
d
o D¡d
o
D¡d
o
S
D
=
p
n
»t
n¡
1
jT
e
j>t
n¡
1
;®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
>d
o
(1
0
)
¹
1
¡¹
2
·d
o
¹
1
¡¹
2
>d
o
X
1
¡X
2
¡d
o
r
n
1
+
¾
2
2
n
2
»N
(0
;
1)
T
e
>z
®
(2)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
<d
o
(2
0
)
¹
1
¡¹
2
¸d
o
¹
1
¡¹
2
<d
o
X
1
¡X
2
¡d
o
r
¾
2
1
n
1
+
¾
2
2
n
2
»N
(0
;
1)
T
e
<¡z
®
(3)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
6
=
d
o
X
1
¡X
2
¡d
o
r
¾
2
1
n
1
+
¾
2
2
n
2
»N
(0
;
1)
jT
e
j>z
®=
2
z}|{
E
S
B
|{z}
X¡¹
o
X¡¹
o
X¡¹
o
X¡¹
o
X¡¹
o
X¡¹
o
D¡d
o
¾
2
1
Statystykamatematyczna.Wzory.
e.synowka@wmie.uz.zgora.pl
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
) Obszarkrytyczny
(1)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
>d
o
(1
0
)
¹
1
¡¹
2
·d
o
¹
1
¡¹
2
>d
o
(
X
1
¡X
2
)
¡d
o
S
p
q
1
n
1
+
1
n
2
»t
n
1
+
n
2
¡
2
T
e
>t
n
1
+
n
2
¡
2
;®
(2)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
<d
o
(2
0
)
¹
1
¡¹
2
¸d
o
¹
1
¡¹
2
<d
o
(
X
1
¡X
2
)
¡d
o
S
p
q
1
n
1
+
1
n
2
»t
n
1
+
n
2
¡
2
T
e
<¡t
n
1
+
n
2
¡
2
;®
(3)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
6
=
d
o
(
X
1
¡X
2
)
¡d
o
S
p
q
1
n
1
+
1
n
2
»t
n
1
+
n
2
¡
2
jT
e
j>t
n
1
+
n
2
¡
2
;®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
>d
o
(1
0
)
¹
1
¡¹
2
·d
o
¹
1
¡¹
2
>d
o
X
1
¡X
2
¡d
o
r
S
2
1
n
1
+
S
2
2
n
2
¼N
(0
;
1)
T
e
>z
®
(2)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
<d
o
(2
0
)
¹
1
¡¹
2
¸d
o
¹
1
¡¹
2
<d
o
X
1
¡X
2
¡d
o
r
n
1
+
S
2
2
n
2
¼N
(0
;
1)
T
e
<¡z
®
(3)
¹
1
¡¹
2
=
d
o
¹
1
¡¹
2
6
=
d
o
X
1
¡X
2
¡d
o
r
n
1
+
S
2
2
n
2
¼N
(0
;
1)
jT
e
j>z
®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
p
1
=
p
2
p
1
>p
2
(1
0
)
p
1
·p
2
p
1
>p
2
c
p
1
¡
c
p
2
q
b
p
(1
¡
b
p
)
n
¼N
(0
;
1)
T
e
>z
®
(2)
p
1
=
p
2
p
1
<p
2
(2
0
)
p
1
¸p
2
p
1
<p
2
c
p
1
¡
c
p
2
q
b
p
(1
¡
b
p
)
n
¼N
(0
;
1)
T
e
<¡z
®
(3)
p
1
=
p
2
p
1
6
=
p
2
c
p
1
¡
c
p
2
q
b
p
(1
¡
b
p
)
n
¼N
(0
;
1)
jT
e
j>z
®=
2
Problem
H
o
vs
H
1
Statystykatestowa
T
(
X
1
;:::;X
n
)Obszarkrytyczny
(1)
¾
2
1
=
¾
2
2
¾
2
1
>¾
2
2
(1
0
)
¾
2
1
·¾
2
2
¾
2
1
>¾
2
2
S
2
2
»F
n
1
¡
1
;n
2
¡
1
T
e
>F
n
1
¡
1
;n
2
¡
1
;®
(2)
¾
2
1
=
¾
2
2
¾
2
1
<¾
2
2
(2
0
)
¾
2
1
¸¾
2
2
¾
2
1
<¾
2
2
S
2
1
»F
n
2
¡
1
;n
1
¡
1
T
e
>F
n
2
¡
1
;n
1
¡
1
;®
(3)
¾
2
1
=
¾
2
2
¾
2
1
6
=
¾
2
2
max(
S
2
1
;S
2
2
)
S
2
2
min(
S
2
1
;S
2
2
)
»F
n
l
¡
1
;n
m
¡
1
T
e
>F
n
l
¡
1
;n
m
¡
1
;®
;
gdzie
½
n
1
;
gdy
S
2
1
¸S
2
2
;
n
2
;
wprzeciwnymrazie
n
l
=
oraz
½
n
2
;
gdy
S
2
1
¸S
2
2
;
n
1
;
wprzeciwnymrazie.
z}|{
E
S
B
|{z}
n
m
=
S
2
1
S
2
1
S
2
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]