wzory mat,
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
ZESTAW WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH
OBOWIÑZUJÑCYCH OD ROKU 2010
(êród∏o: CKE)
1. WARTOÂå BEZWZGL¢DNA LICZBY
WartoÊç bezwzgl´dnà liczby rzeczywistej
x
definiujemy wzorem:
<
x
=
)
-
x
x
dla
dla
x
x
H
0
0
Liczba
x
jest to odleg∏oÊç na osi liczbowej punktu
x
od punktu 0. W szczególnoÊci:
x
H
0
-=
x
x
Dla dowolnych liczb
x
,
y
mamy:
xy x y
+
G
+
xy x y
-
G
+
xy x y
$
=
$
=
Dla dowolnych liczb
a
oraz
r
0
!
, to
x
x
H
mamy warunki równowa˝ne:
xa r ar x ar
-
G
+
-
G G
+
xa r x ar
-
HG
- lub
xar
H
+
2. POT¢GI I PIERWASTKI
Niech
n
b´dzie liczbà ca∏kowità dodatnià. Dla dowolnej liczby
a
definiujemy jej
n
-tà pot´g´:
...
n
n
raz
$ $
n
stopnia
n
z liczby
a
0
H
nazywamy liczb´
b
0
H
takà, ˝e
ba
n
= .
W szczególnoÊci, dla dowolnej liczby
a
zachodzi równoÊç:
aa
2
= .
Je˝eli
a
0 oraz liczba
n
jest nieparzysta, to
a
n
oznacza liczb´
b
0 takà, ˝e
ba
n
= .
Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istniejà.
Niech
m
,
n
b´dà liczbami ca∏kowitymi dodatnimi. Definiujemy:
– dla
a
0
!
:
a
-
n
=
1
oraz
a
1
0
=
a
n
m
– dla
a
0
H
:
a
n
=
n
a
m
– dla
a
0:
a
m
1
-
n
=
n
a
m
a
0 i
b
0, to zachodzà równoÊci:
Niech
r
,
s
b´dà dowolnymi liczbami rzeczywistymi. JeÊli
r
s
r
r
a
r
a
a
dn
Je˝eli wyk∏adniki
r
,
s
sà liczbami ca∏kowitymi, to powy˝sze wzory obowiàzujà dla wszystkich liczb
a
0
r
$
s
=
r
+
s
bl
a
r
rs
=
$
a
=
a
r
-
s
_ i
ab a b
$
=
r
$
r
=
a
s
b
b
r
!
i
b
0
!
.
3. LOGARYTMY
. Logarytmem log
a
liczby
c
0 przy podstawie
a
nazywamy wyk∏adnik
b
pot´gi, do której nale˝y podnieÊç
podstaw´
a
, aby otrzymaç liczb´
c
:
log
cb a c
a
!
=
+
b
=
Równowa˝nie:
a
log
c
a
=
c
Dla dowolnych liczb
x
0,
y
0 oraz
r
zachodzà wzory:
log
_ i
xy
$
=
log
x
+
log
y
log
xr x
r
=
$
log
log
x
=
log
x
-
log
y
a
a
a
a
a
a
a
a
Wzór na zamian´ podstawy logarytmu:
Je˝eli
a
0,
a
1
!
,
b
0,
b
1
!
oraz
c
0, to log
c
=
log
a
c
b
log
b
a
log
x
oraz lg
x
oznacza log
x
10
.
4. SILNIA. WSPÓ¸CZYNNIK DWUMIANOWY
Silnià liczby ca∏kowitej dodatniej
n
nazywamy iloczyn kolejnych liczb ca∏kowitych od 1 do
n
w∏àcznie:
!
1
$ $ $
...
n
=
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej
n
0
H
zachodzi zwiàzek:
_
n
+= +
1
i
! !
n
$
_
n
1
i
Dla liczb ca∏kowitych
n
,
k
spe∏niajàcych warunki
0
GG
definiujemy wspó∏czynnik dwumianowy
kn
dn(symbol Newtona):
n
k
n
k
n
!
n
i
Zachodzà równoÊci:
=
kn k
!
_
-
!
n
k
nn
_ _
-
1
i i
n
-
2
$ $
...
_
n k
- +
1
i
n
k
n
nk
n
0
n
n
d
n
=
d d
n
=
n
dn
=
1
dn
=
1
123
$ $ $ $
...
k
-
1
Ponadto, jeÊli
y
0
=
\
Pierwiastkiem arytmetycznym
a
aa a
aa a
Niech
a
0 i
a
1
=
Ponadto przyjmujemy umow´, ˝e !01
n
d
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej
n
oraz dla dowolnych liczb
a
,
b
mamy:
...
ab
+= +
i
n
n
d
n
a
n
d
n
n
ab
n
-
1
++
d
n
k
n
ab
n
-
k k
++
-
...
d
n
n
ab
n
-
1
+
d
n
n
n
b
n
_
0
1
n
1
6. WZORY SKRÓCONEGO MNO˚ENIA
Dla dowolnych liczb
a
,
b
:
ab a bb
_ i
2
2 2
+=+ +
2
_ i
ab a ab b b
3
3 2 2 3
+=+ + +
3
3
_ i
Dla dowolnej liczby ca∏kowitej dodatniej
n
oraz dowolnych liczb
a
,
b
zachodzi wzór:
...
_ i
ab a bb
2
2 2
-=- +
2
ab a ab b b
3
3 2 2 3
-=- + -
3
3
ab aba a b
n
- = -
n
_ b
i
n
-
1
+
n
-
2
++
a b
n
-
k k
-
1
++
...
b b
-
2
+
n
-
1
l
W szczególnoÊci:
a b abab
2
2
-= - +
_ _i i
a b aba bb
3
3 2 2
+= + - +
_ b
i
l
a b aba bb
3
3 2 2
-= - + +
_ b
i
l
a
2
-= - +
1
_ _i i
a
1
a
1
a
3
+= +
1
_ b
a
1
i
a a
2
-+
1
l
a
3
-= -
_ b
1
i
a a
2
++
1
l
a
n
n
1
-= - ++ +
1
_ b
a
1 1
i
a
...
a
-
l
7. CIÑGI
Ciàg arytmetyczny
Wzór na
n
-ty wyraz ciàgu arytmetycznego
a
`j
o pierwszym wyrazie
a
1
i ró˝nicy
r
:
aa n r
n
=+ _ i
Wzór na sum´
1
Saa
n
=+ ++ poczàtkowych
n
wyrazów ciàgu arytmetycznego:
1
2
...
a
n
aa
n
1
+
n
2
an r
1
+
_ i
1
S
=
$
+
$
n
n
2
2
Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu arytmetycznego zachodzi zwiàzek:
a
=
a
n
-
1
+
a
n
+
1
dla
n
2
H
n
2
■
Ciàg geometryczny
Wzór na
n
-ty wyraz ciàgu geometrycznego
a
`j
o pierwszym wyrazie
a
1
i ilorazie
q
:
aaq
n
=
$
n
-
1
dla
n
2
H
1
Wzór na sum´
Z
Saa
n
=+ ++ poczàtkowych
n
wyrazów ciàgu geometrycznego:
1
2
...
a
n
]
]
Mi´dzy sàsiednimi wyrazami ciàgu geometrycznego zachodzi zwiàzek:
aa a
n
1
-
q
n
a
$
dla
dla
q
q
!
1
1
S
=
[
1
1
-
q
n
na
$
=
1
\
2
=
-
$
+
dla
n
2
H
n
1
n
1
■
Procent sk∏adany
Je˝eli kapita∏ poczàtkowy
K
z∏o˝ymy na
n
lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi
p
w skali rocznej, to kapita∏
koƒcowy
K
n
wyra˝a si´ wzorem:
n
p
KK
=
$
e
1
+
o
n
100
8. FUNKCJA KWADRATOWA
,
a
!
,
x
! .
Wzór ka˝dej funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci kanonicznej:
fx ax p q
_i
2
=++
ax bx c
2
=-
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzcho∏ku w punkcie o wspó∏rz´dnych
p
_ i. Ramiona paraboli skierowane
sà do góry, gdy
a
0, do do∏u, gdy
a
0.
Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej
f x
2
b
2
4
_ _
i
=
-+
i
, gdzie
p
=- ,
q
=- ,
Δ
b c
4
a
_i
2
=++
ax bx c
(liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczy-
2
=- :
– je˝eli Δ 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równa-
nie kwadratowe nie ma rozwiàzaƒ rzeczywistych),
– je˝eli
2
++=), zale˝y od wyró˝nika
Δ
b c
4
Δ = , to funkcja kwadratowa ma dok∏adnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwój-
ny, równanie kwadratowe ma dok∏adnie jedno rozwiàzanie rzeczywiste):
xx
1
==-
– je˝eli Δ 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa ró˝ne pierwiastki rzeczywiste, rów-
nanie kwadratowe ma dwa rozwiàzania rzeczywiste):
b
2
a
x
1
=
--
b
Δ
,
x
2
=
-+
b
Δ
2
a
2
a
JeÊli Δ
H
, to wzór funkcji kwadratowej mo˝na doprowadziç do postaci iloczynowej:
fx ax x x x
1
_ `
i
=
- -
j
`
2
j
2
n
1
a
■
Postaç ogólna funkcji kwadratowej:
f x
wistych rozwiàzaƒ równania
ax bx c
0
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
Wzory Viete’a
Je˝eli
Δ
H
0
, to
xx
a
b
1
+=
-
xx
c
12
$
=
9. GEOMETRIA ANALITYCZNA
Odcinek
D∏ugoÊç odcinka o koƒcach w punktach
Y
Ax
AA
=
` j
,
,
Bx
BB
=
` j
dana jest wzorem:
,
AB
+
`
x x
-
j
2
+
`
y y
-
j
2
B
(
x
B
,
y
B
)
B
A
B
A
J
N
xxyy
2
+
+
A
(
x
A
,
y
A
)
Wspó∏rz´dne Êrodka odcinka
AB
:
K
A
B
,
A
B
O
2
L
P
0
X
■
Wektory
Wspó∏rz´dne wektora
AB
:
,
AB
=- -
8
x x y y
B
A
B
A
B
Je˝eli
uu
12
=
8 B
,
,
vvv
1
=
8 B
sà wektorami, zaÊ
a
jest liczbà, to
,
2
u
+= + +
v
8
u
1
v
1
,
u
2
v
2
B
au au au
1
$
=
8
$ $
,
2
B
■
Prosta
Równanie ogólne prostej:
Ax By C
0
Y
++=,
gdzie
AB
0
+ (tj. wspó∏czynniki
A
,
B
nie sà równoczeÊnie równe 0).
Je˝eli
A
= , to prosta jest równoleg∏a do osi
OX
; je˝eli
B
= , to prosta jest równoleg∏a do osi
OY
; je˝eli
C
= , to prosta przechodzi przez poczàtek uk∏adu wspó∏rz´dnych.
Je˝eli prosta nie jest równoleg∏a do osi
OY
, to ma ona równanie kierunkowe:
y xb
2
2
!
b
y
=
ax
+
b
α
0
X
=+
Liczba
a
to wspó∏czynnik kierunkowy prostej: tg
a
= a
Wspó∏czynnik
b
wyznacza na osi
OY
punkt, w którym dana prosta jà przecina.
Równanie kierunkowe prostej o wspó∏czynniku kierunkowym
a
, która przechodzi przez punkt
Px
00
= ` j:
,
` j
Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty
yaxx y
0
=
-+
0
Ax
AA
=
` j
,
,
Bx
BB
=
` j
:
,
`
yy x x
-
A
j
`
B
-
A
j
-
`
y y xx
0
B
-
A
j
`
-
A
j
=
■
Prosta i punkt
Odleg∏oÊç punktu
Px
00
= ` j od prostej o równaniu
Ax By C
0
,
++=jest dana wzorem:
Ax By C
2
0
++
0
AB
+
2
■
Para prostych
Dwie proste o równaniach kierunkowych
yaxb
1
=+,
yaxb
2
1
=+spe∏niajà jeden z nast´pujàcych warunków:
2
=
– sà prostopad∏e, gdy
aa
1
12
=-
2
– tworzà kàt ostry { i tg
{
=
aa
1
12
1
-
2
+
aa
Dwie proste o równaniach ogólnych:
Ax By C
0
1
++=,
Ax By C
0
2
1
1
++=
2
2
12 2
- =
– sà prostopad∏e, gdy
AA BB
0
12 12
+
=
– tworzà kàt ostry { i tg
{
=
AB A B
12 21
-
AA BB
+
12 12
■
Trójkàt
Pole trójkàta
ABC
o wierzcho∏kach
Ax
AA
=
` j
,
,
Bx
BB
=
` j
,
,
Cx
CC
=
` j
, jest dane wzorem:
,
1
P
=
`
x x
-
j
`
y
-
y
j
-
`
y y
-
j
`
x
-
x
j
D
ABC
2
B
A
C
A
B
A
C
A
J
N
xxxyyy
3
++
++
Ârodek ci´˝koÊci trójkàta
ABC
, czyli punkt przeci´cia jego Êrodkowych, ma wspó∏rz´dne:
K
A
B
C
,
A
B
C
O
3
L
P
■
Przekszta∏cenia geometryczne
– przesuni´cie o wektor
uab
=
7 A
przekszta∏ca punkt
,
Axy
=
_ i
na punkt '
,
Ax ay b
=+ +
_
,
i
– symetria wyglàdem osi
OX
przekszta∏ca punkt
Axy
= _ i na punkt '
,
Ax y
=_ i
,
– symetria wzgl´dem osi
OY
przekszta∏ca punkt
Axy
= _ i na punkt '
,
A
=-_ i
x y
,
– symetria wzgl´dem punktu
a
_ i przekszta∏ca punkt
Axy
= _ i na punkt '
,
Aa x b y
=- -
_
2
,
2
i
– jednok∏adnoÊç o Êrodku w punkcie 0
_ i
i skali
s
0
!
przekszta∏ca punkt
Axy
=
_ i
na punkt '
,
Asx sy
=
_ i
,
■
Równanie okr´gu
Równanie okr´gu o Êrodku w punkcie
Sab
= _ i i promieniu
r
0:
,
_
xa yb r
2 2
2
-+-=
i
_
i
lub
x y
2
2
+- - +=, gdy
22 0
ax
by c
rabc
0
2
2 2
=+-
>
3
■
– sà równoleg∏e, gdy
aa
1
– sà równoleg∏e, gdy
AB A B
0
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
10. PLANIMETRIA
Cechy przystawania trójkàtów
To, ˝e dwa trójkàty
ABC
i
DEF
sà przystajàce
ABC
C
F
_ i, mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej
z nast´pujàcych
cech przystawania trójkàtów
:
–
cecha przystawania „bok – bok – bok”
:
odpowiadajàce sobie boki obu trójkàtów majà te same
d∏ugoÊci:
AB
/
D
DEF
=
DE
,
AC
=
DF
,
BC
=
EF
.
A
B
D
E
–
cecha przystawania „bok – kàt – bok”
:
dwa boki jednego trójkàta sà równe odpowiadajàcym im bokom drugiego trójkàta oraz kàt zawarty mi´dzy tymi bokami jedne-
go trójkàta ma takà samà miar´ jak odpowiadajàcy mu kàt drugiego trójkàta, np.
AB
=
DE
,
AC
=
DF
,
BAC
]
=
]
EDF
–
cecha przystawania „kàt – bok – kàt”
:
jeden bok jednego trójkàta ma t´ samà d∏ugoÊç, co odpowiadajàcy mu bok drugiego trójkàta oraz miary odpowiadajàcych so-
bie kàtów obu trójkàtów, przyleg∏ych do boku, sà równe, np.
AB
=
DE
,
BAC
]
=
]
EDF
,
ABC
]
=
]
DEF
_ i,
mo˝emy stwierdziç na podstawie ka˝dej z nast´pujàcych
cech podobieƒstwa trójkàtów
:
–
cecha podobieƒstwa „bok – bok – bok”
:
d∏ugoÊci boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do
odpowiednich d∏ugoÊci boków drugiego trójkàta, np.
DD
ABC DEF
~
C
F
A
B
D
E
= =
–
cecha podobieƒstwa „bok – kàt – bok”
:
d∏ugoÊci dwóch boków jednego trójkàta sà proporcjonalne do odpowiednich d∏ugoÊci dwóch boków drugiego trójkàta i kàty
AB
AC
BC
DE
DF
EF
AB
AC
mi´dzy tymi parami boków sà przystajàce, np.
=
,
BAC
]
=
]
EDF
DE
DF
–
cecha podobieƒstwa „kàt – kàt – kàt”
:
dwa kàty jednego trójkàta sà przystajàce do odpowiednich dwóch kàtów drugiego trójkàta (wi´c te˝ i trzecie kàty obu trójkà-
tów sà przystajàce):
BAC
]
=
]
EDF
,
ABC
]
=
]
DEF
,
ACB
]
=
]
DFE
Przyjmujemy oznaczenia w trójkàcie
ABC
:
a
,
b
,
c
– d∏ugoÊci boków, le˝àcych odpowiednio naprzeciwko wierzcho∏ków
A
,
B
,
C
pabc
C
c
2= + + – obwód trójkàta
a, b, c – miary kàtów przy wierzcho∏kach
A
,
B
,
C
h
a
,
h
b
,
h
c
– wysokoÊci opuszczone z wierzcho∏ków
A
,
B
,
C
R
,
r
– promienie okr´gów opisanego i wpisanego
■
b
a
a
b
A
c
B
Twierdzenie Pitagorasa
(wraz z twierdzeniem odwrotnym do niego)
W trójkàcie
ABC
kàt c jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy
abc
2
2 2
+=.
Zwiàzki miarowe w trójkàcie prostokàtnym
Za∏ó˝my, ˝e kàt c jest prosty. Wówczas:
h D B
c
C
c
2
=
$
h
c
=
ab
ac
=
$
sin
a
=
c
$
cos
b
b
a
h
c
1
1
abc
pc
2
+-
=-
ab
=
$
tg
a
=
b
$
Rc
2
=
r
=
tg
b
a
b
■
Twierdzenie sinusów
A
c
D
B
a
=
b
=
c
=
2
a
b
c
■
Twierdzenie cosinusów
cos
sin
sin
sin
abc c
2
2 2
=+- a
2
bac c
2
2 2
=+- b
2
cos
cab b
2
2 2
=+- c
2
cos
■
Trójkàt równoboczny
a
– d∏ugoÊç boku,
h
– wysokoÊç trójkàta
a
3
a
2
3
h
=
P
=
2
D
4
■
Wzory na pole trójkàta
P
=
1
$ $
a h
=
1
$ $
b h
=
1
$ $
c h
P
=
1
a b
$ $
sin
c
D
ABC
2
a
2
b
2
c
D
ABC
2
P
=
1
a
2
sin sin
bc
$
=
2
R
2
$ $ $
sin sin sin
abc
P
ABC
=
abc
= =
rp
p p a p b p c
_ _ _
- - -
i i i
D
ABC
2
sin
a
D
4
R
■
Twierdzenie Talesa
Je˝eli proste równoleg∏e '
OA
OB
AA
i '
BB
przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie
O
, to
=
.
OA
'
OB
'
B
B
O
A
A
'
O
A
'
B
'
B
'
4
A
■
D
■
Cechy podobieƒstwa trójkàtów
To, ˝e dwa trójkàty
ABC
i
DEF
sà podobne
■
Matematyka.
Próbna Matura z OPERONEM i „Gazetà Wyborczà”
■
Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Talesa
Je˝eli proste '
AA
i '
BB
przecinajà dwie proste, które przecinajà si´ w punkcie
O
oraz
OA
=
OB
, to proste '
AA
i '
BB
sà równoleg∏e.
OA
'
OB
'
■
Czworokàty
D
b
C
Trapez
Czworokàt, który ma co najmniej jednà par´ boków równoleg∏ych. Wzór na pole trapezu:
h
P
=
ab
h
2
+
$
E
A
B
a
D
C
Równoleg∏obok
Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych.
Wzory na pole równoleg∏oboku:
sin
h
{
b
a
1
A
a
B
P hab
==
$ $
a
=
$ $ $
AC BD
sin
{
2
D
C
Romb
Czworokàt, który ma dwie pary boków równoleg∏ych jednakowej d∏ugoÊci.
Wzory na pole rombu:
sin
h
a
P ah a
==
2
$
a
=
1
$ $
AC
BD
A
a
B
2
D
Deltoid
Czworokàt, który ma oÊ symetrii, zawierajàcà jednà z przekàtnych. Wzór na pole deltoidu:
A
C
1
P
=
$ $
AC
BD
2
B
r
Ko∏o
Wzór na pole ko∏a o promieniu
r
:
Pr
2
O
= r
Obwód ko∏a o promieniu
r
:
Obw
.
= r
r
A
Wycinek ko∏a
Wzór na pole wycinka ko∏a o promieniu
r
i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach:
Pr
r
= r
2
$
c
a
O
a
360
D∏ugoÊç ∏uku wycinka ko∏a o promieniu
r
i kàcie Êrodkowym a wyra˝onym w stopniach:
a
B
l
= r
2
r
360
c
a
■
Kàty w okr´gu
Miara kàta wpisanego w okràg jest równa po∏owie miary kàta Êrodkowego, opartego na tym samym ∏uku.
Miary kàtów wpisanych w okràg, opartych na tym samym ∏uku, sà równe.
a
a
O
2
a
B
■
Twierdzenie o kàcie mi´dzy stycznà i ci´ciwà
A
B
B
Dany jest okràg o Êrodku w punkcie
O
i jego ci´ciwa
AB
. Prosta
AC
jest styczna do tego okr´gu w punkcie
A
.
Wtedy
AOB
= , przy czym wybieramy ten
z kàtów Êrodkowych
AOB
, który jest oparty na ∏uku
znajdujàcym si´ wewnàtrz kàta
CAB
.
]
2
$
]
CAB
O
O
A
C
C
A
■
Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej
Dane sà: prosta przecinajàca okràg w punktach
A
i
B
oraz prosta styczna do tego
okr´gu w punkcie
C
. Je˝eli proste te przecinajà si´ w punkcie
P
, to
PA PB
A
2
B
$
=
PC
C
P
C
c
B
b
■
Okràg opisany na czworokàcie
Na czworokàcie mo˝na opisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwleg∏ych
kàtów wewn´trznych sà równe 180
c
:
180
c
D
d
acbd
+=+=
a
A
c
C
■
Okràg wpisany w czworokàt
W czworokàt wypuk∏y mo˝na wpisaç okràg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy d∏ugoÊci jego prze-
ciwleg∏ych boków sà równe:
acbd
D
r
b
+=+
5
d
B
A
a
[ Pobierz całość w formacie PDF ]