wzbo-wyklad nr 6, MATERIAŁY DYDAKTYCZNE, WYBRANE ZAGADNIENIA BADAŃ OPERACYJNYCH
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 6: Elementy teorii gier
6. ELEMENTY TEORII GIER
Podejmowanie decyzji inwestycyjnych często jest dokonywane
w sytuacjach, w których nie wiadomo, jaki będzie stan otoczenia lub
też, jaką decyzję podejmą inni decydenci, mający wpływ na wyniki
decyzji przez nas podejmowanych.
Przykładem może być
konkurencja kilku przedsiębiorstw na
rynku
, który jest podzielony między nie - decyzje podjęte przez
każdego z konkurentów mają wpływ na wyniki pozostałych
udziałowców rynku. Można powiedzieć, że w świecie finansów bez
przerwy stykamy się z konfliktem interesów, podobnie jak w grach.
Grać możemy np. na giełdzie. Sytuacje te noszą nazwę
konfliktowych
(sytuacje decyzyjne, w których występują decydenci
o, najczęściej, rozbieżnych celach). Stąd nauka, która zajmuje się
analizą wszelkiego rodzaju sytuacji konfliktowych (nie tylko
ekonomicznych) nosi nazwę
teorii gier
. O uczestnikach gry mówi się,
że są jej
graczami
.
Grać można:
•
z jednym graczem (
gry dwuosobowe
),
•
bądź z wieloma graczami (
gry wieloosobowe
).
Gracze mogą się ze sobą porozumiewać, tworząc koalicje
(
gry kooperacyjne
), bądź mogą się nie porozumiewać
(
gry niekooperacyjne
). Grać można z przeciwnikiem inteligentnym
(
gry właściwe
), bądź z przeciwnikiem, któremu nie zależy na
wygranej (
gry z naturą
).
W naszych rozważaniach zajmiemy się szczegółowo
grami
z naturą
oraz
grami dwuosobowymi o sumie zero
1
.
1
Gry o sumie zero są to takie gry, w których wygrana jednego gracza jest równa przegranej drugiego z nich.
1
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 6: Elementy teorii gier
6.1 GRY Z NATURĄ
Gry z naturą
są grami dwuosobowymi, przy czym natura jest
rozumiana jako „przeciwnik nierozumny” w przeciwieństwie do
innych graczy.
Naturze nie zależy na wyniku gry
.
Istnieje kilka sposobów wyboru optymalnej strategii w grach z naturą:
a)
kryterium optymisty;
b)
kryterium pesymisty;
c)
kryterium Hurwicza;
d)
kryterium Bayes’a;
e)
kryterium Savage’a.
Opisane rodzaje kryteriów zdefiniujemy na przykładzie.
Przykład 7.1
Rolnik posiadający glebę klasy III ma wybrać pod uprawę jeden
z trzech rodzajów zbóż. Plony tych zbóż z
1 ha
, w kwintalach,
w zależności od warunków klimatycznych przedstawia tabela.
Który z rodzajów zbóż powinien wybrać rolnik?
Stany natury
Zboże
Susza Normalnie Deszcze
Żyto
24
28
36
Pszenica
31
30
28
Jęczmień
28
34
29
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
M
– liczba decyzji (w przykładzie: 3) ,
N
– liczba stanów natury (w przykładzie: 3),
a
ij
– wartość zysku (w przykładzie: wysokość plonów) wynikającego
z podjęcia decyzji o numerze
i
przy wystąpieniu sytuacji (stanu
natury) o numerze
j
,
i
,...,
=
1
M
,
j
,...,
=
1
N
;
2
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 6: Elementy teorii gier
Kryterium optymisty
zakłada, że wystąpi najlepszy z możliwych
stanów natury (jesteśmy optymistami). Wybór decyzji polega na
określeniu najlepszej wartości w każdym wierszu macierzy,
a następnie wybieramy tą decyzję (zboże), z którą jest związana
największa wartość z wcześniej określonych, tzn.
wybieramy taką decyzję
i
, dla której zachodzi:
*
(7.1)
v
( )
*
=
max
max
a
o
o
ij
i
=
1
M
j
=
1
N
Dla naszego przypadku mamy:
m
ax
a
1
j
=
max
{ }
24,
28,
36
=
36
j
=
1
3
m
ax
a
2
j
=
max
{ }
31,
30,
28
=
31
max=36,
i
*
=1
j
=
1
3
{ }
34
m
ax
a
3
j
=
max
28,
34,
29
=
j
=
1
3
Kryterium pesymisty
jest kryterium ostrożnym. Zakłada ono, że
zajdzie sytuacja najmniej korzystna dla podejmującego decyzję
(jesteśmy pesymistami). Dlatego dla każdej strategii (każdego
wiersza) macierzy wypłat należy określić najmniejszą wartość
(związaną z najbardziej niekorzystną sytuacją) dla której ta minimalna
wartość jest największa, tzn.
wybieramy taką decyzję
i
*
p
, dla której zachodzi:
(7.2)
v
( )
*
=
max
min
a
p
p
ij
i
=
1
M
j
=
1
N
Dla naszego przypadku mamy:
{ }
j
=
1
3
a
1
j
=
min
24
,
28
,
36
=
24
m
in
a
2
j
=
min
{ }
31
,
30
,
28
=
28
max=28,
i
*
p
=2 lub
i
*
p
=3
j
=
1
3
{ }
28
m
in
a
3
j
=
min
28
,
34
,
29
=
j
=
1
3
3
i
i
m
in
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 6: Elementy teorii gier
Kryterium Hurwicza
jest kryterium ważonym między kryteriami:
optymisty i pesymisty. Wagą jest arbitralnie wybrana wartość
parametru
α
[
0
(tzw.
współczynnik optymizmu
), a decyzją
i
*
optymalną dla tego kryterium jest taka decyzja, dla której zachodzi:
(7.3)
v
( )
i
*
,
α
=
max
α
⋅
max
a
+
( )
1
−
α
⋅
m
in
a
h
h
ij
ij
i
=
1
M
j
=
1
N
j
=
1
M
Zauważmy
: jeżeli
α
1
to
i
=
*
h
i
*
,
o
jeżeli
α
0
to
i
=
*
h
i
*
.
p
Niech
α=0,4.
Dla naszego przykładu mamy:
0
4
⋅
max
a
1
j
+
0
⋅
min
a
1
j
=
0
4
⋅
36
+
0
⋅
24
=
28
,
j
=
1
3
j
=
1
3
0
4
⋅
max
a
2
j
+
0
⋅
min
j
=
1
3
a
2
j
=
0
4
⋅
31
+
0
⋅
28
=
29
,
2
j
=
1
3
0
4
⋅
max
a
3
j
+
0
⋅
min
j
=
1
3
a
3
j
=
0
4
⋅
34
+
0
⋅
28
=
30,4
j
=
1
3
oraz
max
{
28
,
2
29
,
2
30,4
}
=
30
,
4
, stąd
i
*
=
3
.
Kryterium Bayes’a
zakłada, że decyzją optymalną jest ta decyzja,
dla której wartość oczekiwana wygranej jest największa, przy
założeniu znajomości rozkładu
ppp p
(
1
, , ,
N
)
z jednakowym prawdopodobieństwem, tzn.
p
j
=
1
,
j
=
1
N
.
N
Wybieramy taką decyzję
i
*
, dla której zachodzi:
iv
∑
=
()
N
*
=
max
p
a
(7.4)
b
b
j
ij
i
=
1
M
j
1
4
=
…
na stanach
natury. Najczęściej przyjmuje się, że każdy stan natury może wystąpić
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 6: Elementy teorii gier
Dla naszego przypadku mamy:
p
=
p
=
p
=
1
=
1
1
2
3
N
3
dla
i
=
1
→
24
⋅
1
+
28
⋅
1
+
36
⋅
1
=
29
,
04
3
3
3
dla
i
=
2
→
31
⋅
1
+
30
⋅
1
+
28
⋅
1
=
29
,
4
3
3
3
dla
i
=
3
→
28
⋅
1
+
34
⋅
1
+
29
⋅
1
=
30,03
3
3
3
{
}
oraz
max
29
,
04
;
29
,
4
30
,
03
=
30
,
03
, a stąd
i
*
=
3
.
Kryterium Savage’a
spełnia postulat minimalizacji oczekiwanej
straty wynikłej z podjęcia przez nas decyzji gorszej niż najlepsza
możliwa dla danego stanu natury (z punktu widzenia podejmującego
decyzję). Pierwszym etapem jest znalezienie tzw.
macierzy strat
.
Strata jest różnicą między największą wygraną możliwą dla danego
stanu natury, a wygraną odpowiadającą naszej decyzji.
Element
S
ij
macierzy strat wyliczymy następująco:
(7.5)
S
−
=
*
a
ij
j
ij
gdzie:
(7.6)
a
*
=
m
ax
=
a
j
ij
i
1
M
Mając określoną macierz strat wybieramy taką decyzję
i
, dla której
strata jest najmniejsza, tzn.:
(7.7)
v
( )
i
*
=
min
max
s
s
s
ij
i
=
1
M
j
=
1
N
5
*
[ Pobierz całość w formacie PDF ]