wzbo-wyklad nr 3, MATERIAŁY DYDAKTYCZNE, WYBRANE ZAGADNIENIA BADAŃ OPERACYJNYCH
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 3: Optymalizacja nieliniowa
3. OPTYMALIZACJA NIELINIOWA
Zdarza się dość często, że zależności występujące w
analizowanych procesach (np. gospodarczych) mają charakter
nieliniowy. Dlatego też, oprócz liniowych zadań decyzyjnych,
formułujemy także
nieliniowe zadania decyzyjne (NZD).
Zadanie decyzyjne
nazywamy
nieliniowym
, jeżeli
funkcja celu
lub chociaż
jeden z warunków ograniczających
są
nieliniowe (np.
kwadratowe, wykładnicze, logarytmiczne, itp.)
.
Przykład praktycznego zagadnienia o charakterze nieliniowym
(zagadnienie wyboru optymalnego portfela akcji)
Stopa zysku i ryzyko
Rozważmy następujący problem decyzyjny.
Inwestor posiadający określony kapitał chce go ulokować na giełdzie
kupując akcje. Każda akcja jest charakteryzowana przez dwa
podstawowe czynniki, istotne dla inwestora podejmującego decyzje
o zakupie akcji:
stopę zysku
(zwrotu) i
ryzyko
.
Stopa zysku
(zwrotu) to stosunek zysku, jaki przynosi dana
akcja, do kosztu jej zakupu. Stopę zysku w okresie
t
obliczamy
według wzoru:
(4.1)
=
[
( )
P
−
P
−
1
+
D
t
]
,
P
−
1
gdzie:
P
t
– wartość akcji na koniec okresu
t
,
P
t-1
– wartość akcji na początku okresu
t
,
D
t
– wielkość dywidendy
1
w okresie
t
.
1
Uwaga! Dla dziennych stóp zwrotu przyjmujemy najczęściej, że dywidenda jest równa zero. Czasami stopę
zwrotu definiuje się również pomijając składnik
D
t
.
R
/
t
t
t
t
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 3: Optymalizacja nieliniowa
Wszystkie decyzje związane z inwestowaniem w akcje są
decyzjami dotyczącymi przyszłości, podejmowanymi w warunkach
niepewności. Tak więc, stopa zysku jest w istocie przyszłą,
oczekiwana stopą zysku, jaka zostanie osiągnięta w pewnym okresie.
Stąd uzyskanie ustalonej wartości stopy zysku wiąże się z ryzykiem.
Stopa zysku jest zmienną losową
, która może przyjmować
różne wartości z określonymi prawdopodobieństwami.
Prawdopodobieństwa te zależą od sytuacji na giełdzie, a te z kolei od
różnych czynników, np. od stanu gospodarki czy sytuacji politycznej.
Przykład 4.1
Rozważmy akcje dwóch spółek A i B. W Tabeli 4.1
przedstawiono rozkłady stóp zwrotu tych akcji.
Tabela 4.1
Możliwy stan
gospodarki
Prawdopodobieństwo
Stopa zwrotu
i
p
i
R
iA
(w %)
R
iB
(w %)
1
0.1
60
20
2
0.2
30
14
3
0.4
10
10
4
0.2
-10
6
5
0.1
-40
0
Powstaje pytanie: jak na podstawie tych przewidywanych stóp
zysku oszacować jeden wskaźnik, który mógłby umożliwić podjęcie
decyzji o zakupie akcji?
Do tego celu służy
oczekiwana stopa zysku (zwrotu)
. Określa
się ją według wzoru:
∑
=
m
(4.2)
R
=
p
i
⋅
R
i
i
1
gdzie:
R
– oczekiwana stopa zwrotu;
R
i
–
i
-ta możliwa wartość stopy zwrotu;
p
i
– prawdopodobieństwo osiągnięcia przez stopę zwrotu
i
-tej
wartości;
m
– liczba możliwych do osiągnięcia wartości stopy zwrotu.
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 3: Optymalizacja nieliniowa
Po podstawieniu do wzoru (4.2) wartości z Tabeli 4.1 otrzymamy:
♦
dla spółki A:
R
A
=
0
.
1
⋅
60
%
+
0
.
2
⋅
30
%
+
0
.
4
⋅
10
%
+
0
.
2
⋅
(
−
10
%)
+
0
.
1
⋅
(
−
40
%)
=
10
%
♦
dla spółki B:
R
=
0
.
1
⋅
20
%
+
0
.
⋅
14
%
+
0
.
4
⋅
10
%
+
0
.
2
⋅
6
%
+
0
.
1
⋅
0
%
=
10
%
Rozkład prawdopodobieństwa stóp zwrotu akcji spółki A
Rozkład prawdopodobieństwa stóp zwrotu akcji spółki B
0,4
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
Wartości możliwych stóp zwrotu
Wartości możliwych stóp zwrotu
a) b)
Wykres 4.1
Rozkłady prawdopodobieństwa stóp zwrotu akcji spółki A a) oraz B b)
Z obliczonych wartości oczekiwanych stóp zwrotu wynika, że inwestowanie w
obie spółki jest tak samo atrakcyjne (ten sam oczekiwany „zysk”). Analiza
wykresów 4.1a) i 4.1b) pozwala jednakże stwierdzić, że w przypadku akcji
spółki A możemy równie dobrze dużo zyskać (60% z prawdopodobieństwem
0.1) jak i dużo stracić (-40% z prawdopodobieństwem 0.1). Dzieje się tak
dlatego, że rozrzut możliwych wartości stopy zwrotu wokół oczekiwanej stopy
zwrotu (
R
A
=10%) jest duży. Takiej złej cechy nie posiada rozkład stopy zwrotu
spółki B. Widać z wykresu 4.1b, że w najgorszym przypadku możemy ani nie
stracić, ani nie zyskać (dla
R
5B
=0%) natomiast w najlepszym przypadku
wprawdzie zyskujemy „tylko” 20% (czyli mniej niż dla najlepszego przypadku
dla spółki A, tzn. dla
R
1A
=60%), ale mamy mniejszy rozrzut możliwych wartości
stopy zwrotu wokół wartości oczekiwanej (tzn. wokół
R
B
=10%).
Dlaczego? Ponieważ z akcją
B
wiąże się znacznie mniejsze
ryzyko, niż z akcją
A
.
Im większe zróżnicowanie możliwych stóp zysku,
tym większe ryzyko związane z daną akcją.
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 3: Optymalizacja nieliniowa
Powstaje zasadniczy problem:
Jak zmierzyć ryzyko,
jak wyrazić je syntetycznie za pomocą jednej liczby?
Ryzyko związane z daną akcją można zmierzyć za pomocą
wariancji stopy zysku
określonej wzorem:
=
∑
=
m
(4.3)
V
p
⋅
(
R
−
R
)
2
i
i
i
1
gdzie:
V
– wariancja stopy zwrotu;
R
– oczekiwana stopa zwrotu.
Częściej stosuje się inną miarę ryzyka, mianowicie
odchylenie
standardowe
s
stopy zwrotu
(
standard deviation of returns
):
∑
=
m
s
=
V
=
p
⋅
(
R
−
R
)
2
(4.4)
i
i
i
1
gdzie:
s
– odchylenie standardowe stopy zwrotu.
Odchylenie standardowe wskazuje przeciętne odchylenie możliwych
stóp zwrotu od oczekiwanej stopy zwrotu, przy czym
im większe jest
odchylenie standardowe, tym większe ryzyko
.
Ze wzoru (4.3) oraz Tabeli 4.1 mamy:
-
dla akcji spółki A
V
=
0
.
⋅
(
0
−
0
2
+
0
.
⋅
(
0
−
0
2
+
0
⋅
(
0
.
−
0
1
2
+
A
0
2
⋅
(
−
0
−
0
2
+
0
.
⋅
(
−
0
4
−
0
2
=
0
066
-
dla akcji spółki B
V
=
0
⋅
(
0
−
0
2
+
0
2
⋅
(
0
14
−
0
2
+
0
⋅
(
0
−
0
1
2
+
B
0
⋅
(
0
06
−
0
1
2
+
0
.
⋅
(
0
−
0
2
=
0
.
00264
Wybrane zagadnienia badań operacyjnych
dr inż. Zbigniew Tarapata
Wykład nr 3: Optymalizacja nieliniowa
oraz ze wzoru (4.4):
s
A
=
V
A
=
0
066
=
0
257
=
25
.
s
B
=
V
B
=
0
00264
=
0
051
=
5
Powyższe obliczenia potwierdzają fakt zaobserwowany na wykresie
4.1, że akcje spółki B cechują się 5-cio krotnie mniejszym ryzykiem,
bo
s
B
<
s
A
.
Portfel akcji
Gdy inwestor kupuje kilka akcji, istotne jest powiązanie ich stóp
zysku, mierzone za pomocą współczynnika korelacji. Dla dwóch
akcji, oznaczonych numerami 1 i 2,
współczynnik korelacji
określony jest wzorem:
ρ
=
m
i
=
p
i
⋅
(
R
1
i
−
R
1
)
⋅
(
R
2
i
−
R
2
)
(4.5)
1
2
s
⋅
s
1
1
2
Rozważania nasze oprzemy o tzw.
portfel dwuskładnikowy
, tzn.
składający się z akcji tylko dwóch spółek.
Wprowadzimy następujące oznaczenia:
s
1
, s
2
- odchylenia standardowe stóp zwrotu akcji spółki 1 i 2;
R
1
, R
2
- oczekiwane stopy zwrotu akcji spółki 1 i 2;
ρ
1,2
- współczynnik korelacji stóp zwrotu akcji obu spółek;
w
1
, w
2
- udziały akcji obu spółek w portfelu, przy czym
2
:
w
1
+
w
2
=1.
Oczekiwana stopa zwrotu
R
p
portfela akcji
dwóch spółek
dana jest
wzorem:
(4.6)
R
p
=
w
⋅
R
1
+
w
2
⋅
R
2
2
Przypadek, gdy wykluczamy krótką sprzedaż. Wówczas udziały akcji w portfelu są liczbami nieujemnymi.
1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]