wykłady 2.3, Biotechnologia i, Rok I, Matematyka Sem 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Pochodnafunkcji
Def.1.Pochodn¡w“a–ciw¡funkcjifwpunkciex
0
nazywamygranicƒ
f
0
(x
0
) := lim
x!x
0
f(x) f(x
0
)
xx
0
oilegranicataistniejeijestw“a–ciwa.Funkcjƒfnazywamywtedyr
ó
»niczkowaln¡.
Przyza“o»eniu,»efjestci¡g“awx
0
analogicznieokre–lamypochodneniew“a–-
ciwe+1i1.Pochodn¡lewostronn¡iprawostronn¡nazywamyodpowiednio:
f
0
(x
0
) := lim
x!x
0
f(x) f(x
0
)
xx
0
if
0
+
(x
0
) := lim
x!x
+
0
f(x) f(x
0
)
xx
0
:
Ilorazemr
ó
»nicowymnazywamywyra»enie
f(x) f(x
0
)
xx
0
=
f(x
0
+ x) f(x
0
)
x
=
y
x
:
Uwaga1.Wde
nicjipochodnejniew“a–ciwejzak“adamydodatkowoci¡g“o–¢
funkcjiwpunkciex
0
.Za“o»enie,tojestzbƒdnedlapochodnejw“a–ciwejponiewa»
zistnieniagranicyw“a–ciwej
f
0
(x
0
) := lim
x!x
0
f(x) f(x
0
)
xx
0
wynikaci¡g“o–¢funkcjiwpunkciex
0
.Wka»dymprzypadkuzachodzi:
Twierdzenie1.Je–liistniejew“a–ciwalubniew“a–ciwapochodnaf
0
(x
0
),to
funkcjafjestci¡g“awx
0
.
Interpretacjageometrycznai
zyczna
Pochodnaw“a–ciwawpunkciex
0
jestwsp
ó
“czynnikiemkierunkowymsty-
cznejdowykresufunkcjiwpunkciex
0
.
Je–lif
0
(x
0
) = 1,tostycznadowykresujestprost¡pionow¡x=x
0
.
R
ó
wnanieprostejstycznejdowykresufunkcjifr
ó
»niczkowalnejwpunkcie
x
0
:
yf(x
0
) =f
0
(x
0
)(xx
0
):
Pochodnawyra»aszybko–¢przyrostufunkcjiwchwilix
0
.
Je–lis=s(t),jestfunkcj¡drogiwzale»no–ciodczasu,topochodnas
0
(t
0
)
jestprƒdko–ci¡wchwilit
0
.
Je–liv=v(t),jestfunkcj¡prƒdko–ciwzale»no–ciodczasu,tov
0
(t
0
)jest
przy–pieszeniemwchwilit
0
.
1
Pochodnefunkcjielementarnych
1.c
0
= 0(pochodnafunkcjista“ejjestr
ó
wna0),
2. (x
r
)
0
=rx
r1
dladowolnegor2
R
,
3. (sinx)
0
= cosx, (cosx)
0
= sinx,
4. (tgx)
0
=
cos
2
x
, (ctgx)
0
=
1
1
sin
2
x
,
5. (a
x
)
0
=a
x
lna, (e
x
)
0
=e
x
,
6. (log
a
x)
0
=
1
xlna
, (lnx)
0
=
1
x
,
7. (arcsinx)
0
=
p
1 x
2
, (arccosx)
0
=
p
1 x
2
,
8. (arctgx)
0
=
1
1 +x
2
, (arcctgx)
0
=
1
1 +x
2
.
Def.2.M
ó
wimy,»efunkcjafjestr
ó
»niczkowalnawzbiorzeX
R
gdyjest
r
ó
»niczkowalnawka»dympunkcietegozbioru.Funkcjƒ,kt
ó
raka»demux2X
przyporz¡dkowujepochodn¡f
0
(x)wtympunkcienazywamypochodn¡f
0
na
zbiorzeX.
Twierdzenie2.Je–lif;gmaj¡pochodnewx
0
,to
1. (fg)
0
(x
0
) =f
0
(x
0
) g
0
(x
0
),
2. (cf)
0
(x
0
) =cf
0
(x
0
),gdziec2
R
,
3. (fg)
0
(x
0
) =f
0
(x
0
)g(x
0
) +f(x
0
)g
0
(x
0
)
g
2
(x
0
)
oileg(x
0
) 6= 0.
Twierdzenie3. 1.Je»elifmapochodn¡wpunkciex
0
agmapochodn¡w
punkcief(x
0
),to
f
g
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)g(x
0
) f(x
0
)g
0
(x
0
)
(gf)
0
(x
0
) =g
0
(f(x
0
))f
0
(x
0
):
2.Je»elifunkcjafjestci¡g“ai–ci–lemonotonicznawotoczeniupunktux
0
orazmapochodn¡f
0
(x
0
) 6= 0,to
(f
1
)
0
(f(x
0
)) =
1
f
0
(x
0
)
:
2
1
1
4.
Wyra»eniawyk“adniczo-potƒgowe
f(x)
g(x)
0
=
e
g(x) lnf(x)
0
=f(x)
g(x)
(g
0
(x) lnf(x) +
g(x)f
0
(x)
f(x)
:
Przyk“ad:1.Wyznaczy¢pochodn¡funkcjif(x) = (sinx)
cosx
wdowolnym
punkciedziedzinynaturalnej.
Def.3.R
ó
»niczk¡funkcjifr
ó
»niczkowalnejwx
0
nazywamyfunkcjƒdfprzy-
rostuargumentux=xx
0
okre–lon¡wzorem
df(x) =f
0
(x
0
) x:
Uwaga2.R
ó
»niczkajestfunkcj¡liniow¡przyrostuargumentu.
Uwaga3.R
ó
»niczkaszybciejzbiegadoprzyrostuwarto–cifunkcji f=f(x
0
+
x) f(x
0
)ni»x! 0.Dok“adniej
lim
x!0
fdf
x
= 0:
Dlategodlama“ychxstosujemyprzybli»enie
f(x+ x) f(x
0
) +f
0
(x
0
)x:
Przyk“a
dy:1
. 1.Wyznaczy¢bezkalkulatoraprzybli»on¡warto–¢wyra»enia
3
p
8;03.
2.Zjak¡dok“adno–ci¡wyznaczymyobjƒto–¢sze–cianuje–lizmierzonazdok“ad-
no–ci¡do1cmd“ugo–¢jegokrawƒdzijestr
ó
wna1m?
Twierdzenie4(Rolle’a).Je»elifunkcjafjestci¡g“anaprzedziale [a;b] i
r
ó
»niczkowalnanaprzedziale (a;b)orazf(a) =f(b),toistniejetakipunkt
c2 (a;b),»ef
0
(c) = 0:
Twierdzenie5(Lagrange’a).Je»elifunkcjafjestci¡g“anaprzedziale[a;b]i
r
ó
»niczkowalnanaprzedziale(a;b),toistniejetakipunktc2 (a;b),»e
f
0
(c) =
f(b) f(a)
ba
:
Twierdzenie6(Cauchy’ego).Je»elifunkcjef;gs¡ci¡g“enaprzedziale[a;b]i
r
ó
»niczkowalnenaprzedziale(a;b)orazg
0
(x) 6= 0dlax2 (a;b),toistniejetaki
punktc2 (a;b),»e
f
0
(c)
g
0
(c)
=
f(b) f(a)
g(b) g(a)
:
Twierdzenie7(Regu“adeL’Hospitala).Je»elifunkcjef;gspe“niaj¡warunki:
x!x
0
f(x) = lim
x!x
0
g(x) = 0,przyczymg(x
0
) 6= 0ws¡siedztwiex
0
,
3
1. lim
2.istnieje lim
x!x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
(w“a–ciwalubniew“a–ciwa),
to
f
0
(x)
g
0
(x)
:
f(x)
g(x)
lim
x!x
0
= lim
x!x
0
Twierdzeniejestr
ó
wnie»prawdziwedlagranicjednostronnych,granicw
niesko«czono–ciorazprzypierwszymza“o»eniupostaci:
1’. lim
x!x
0
f(x) = lim
x!x
0
g(x) = 1.
Przyk“ady:2.Wyznaczy¢granice:(1)lim
x!0
ln cosx
ln cos 2x
;(2) lim
x!1
x
1
p
x
;(3)lim
x!1
x+ sinx
x
.
Def.4.Pochodnewy»szychrzƒd
ó
wde
niujemyindukcyjnie:
1.
f
(1)
(x) :=f
0
(x);
2.Dlan>1:
f
(n+1)
(x) :=
f
(n)
0
(x):
Stosujemyr
ó
wnie»oznaczenia
f
00
;f
000
;f
iv
;:::
oraz
f
(0)
(x) :=f(x):
Przyk“ad:2.Wyznaczy¢wz
ó
rnan-t¡pochodn¡funkcjif(x) =xe
x
.
Twierdzenie8(Wz
ó
rTaylorazreszt¡Lagrange’a).Je»elifmaci¡g“¡pochodn¡
f
(n1)
naprzedziale[x
0
;x]orazpochodn¡f
(n)
naprzedziale(x
0
;x),toistnieje
takipunktc2 (x
0
;x),»e
f(x) =f(x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(xx
0
) +
f
(2)
(x
0
)
2!
(xx
0
)
2
+:::+
f
(n1)
(x
0
)
(n 1)!
(xx
0
)
n1
+
f
(n)
(c)
n!
(xx
0
)
n
.
Wyra»enie
R
n
=
f
(n)
(c)
n!
(xx
0
)
n
nazywamyreszt¡wpostaciLagrange’aaca“¡resztƒsumy-wielomianemTay-
lora.
4
Wn.1(Wz
ó
rMaclaurina).Dlax
0
= 0wz
ó
rTayloraprzyjmujeposta¢:
f(x) =f(0) +
f
0
(0)
1!
x+
f
(2)
(0)
2!
x
2
+:::+
f
(n1)
(0)
(n 1)!
x
n1
+
f
(n)
(c)
n!
x
n
:
Przyk“ad1(SzeregiMaclaurinadlafunkcjie
x
,sinxicosx:). 1.e
x
= 1+
x
1!
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+:::
x
n1
(n 1)!
+
x
n
n!
e
c
2. sinx=x
x
3
3!
5!
x
7
7!
+
x
9
9!
+:::+ (1)
n+1
x
2n1
(2n 1)!
cosc
3. cosx= 1
x
2
2!
4!
x
6
6!
+
x
8
8!
+:::+ (1)
n
x
2n
(2n)!
cosc
Wyznaczy¢cos 0;2zdok“adno–ci¡do10
4
.
5
+
x
5
+
x
4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]