wyklad4, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Pochodnefunkcji
Niech
x
0
2IR
orazniechfunkcja
f
b¸edzieokre´slonaprzynajmniejna
otoczeniu
U
(
x
0
;r
),gdzie
r>
0.
Ozn.
¢
x
przyrostzmiennejniezale˙znej
x
,taki˙ze
x
0
+¢
x2U
(
x
0
;r
)
¢
y;
¢
f
przyrostwarto´scifunkcjiokre´slonynast¸epuj¸aco
¢
f
=
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
Definicja1(ilorazur´o˙znicowego)
Ilorazemr´o˙znicowymfunkcjif
wpunkciex
0
odpowiadaj¸acymprzyrostowi
¢
xzmiennejniezale˙znej
nazywamy
¢
f
¢
x
def
=
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
¢
x
Definicja2(pochodnej(wÃla´sciwej)funkcji)
Pochodn¸a(wÃla´sciw¸a)
funkcjifwpunkciex
0
,ozn.symbolemf
0
(
x
0
)
,
df
dx
j
x
0
lubDf
(
x
0
)
,nazy-
wamygranic¸ewÃla´sciw¸a
f
0
(
x
0
)
def
=lim
¢
x!
0
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
¢
x
folia1,wyklad4.tex,15.10.2002
Definicja3(pochodnychjednostronnychfunkcji)
Niechfb¸edzie
okre´slonaprzynajmniejnalewostronnymotoczeniuU
¡
(
x
0
)
(prawostron-
nymotoczeniuU
+
(
x
0
)
).
Pochodn¸alewostronn¸afunkcjifwpunkciex
0
,ozn.symbolemf
0
¡
(
x
0
)
,
nazywamy
f
0
¡
(
x
0
)
def
=lim
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
¢
x
f
0
+
(
x
0
)
def
=lim
Twierdzenie1(warunekkoniecznyidostatecznyist.pochodnej)
Pochodnaf
0
(
x
0
)
istniejewtedyitylkowtedy,gdyistniej¸apochodnejed-
nostronnewpunkciex
0
,aponadto
f
0
¡
(
x
0
)=
f
0
+
(
x
0
)
Twierdzenie2(zwi¸azekmi¸edzyci¸agÃlo´sci¸aaist.pochodnej)
Je˙zelifunkcjamapochodn¸awÃla´sciw¸awpunkcie,tojestci¸agÃlawtym
punkcie.
folia2,wyklad4.tex,15.10.2002
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
¢
x
Pochodn¸aprawostronn¸afunkcjifwpunkciex
0
,ozn.symbolemf
0
+
(
x
0
)
,
nazywamy
¢
x!
0
¡
¢
x!
0
+
Definicja4(pochodnejfunkcjinazbiorze)
Funkcjamapochodn¸a
wÃla´sciw¸anazbiorzewtedyitylkowtedy,gdymapochodn¸awÃla´sciw¸aw
ka˙zdympunkcietegozbioru.
Funkcj¸eokre´slon¸anazbiorze,kt´orejwarto´sciwpunktachxtegozbioru
s¸ar´ownef
0
(
x
)
nazywamypochodn¸afunkcjifnazbiorzeioznaczamy
przezf
0
.
Uwaga1
Funkcjafposiadapochodn¸af
0
naprzedzialedomkni¸etym
ha;bi,je˙zeliposiadapochodn¸awÃla´sciw¸awka˙zdympunkcieprzedziaÃlu
otwartego
(
a;b
)
,aponadtoistniej¸apochodnejednostronnewÃla´sciwe
f
0
+
(
a
)
if
0
¡
(
b
)
.
Definicja5(pochodnejniewÃla´sciwejfunkcji)
Niechfb¸edziefun-
kcj¸aci¸agÃl¸awpunkciex
0
2IR.Funkcjafmawpunkciex
0
pochodn¸a
niewÃla´sciw¸awtedyitylkowtedy,gdy
lim
¢
x!
0
¢
x
=+
1lub
lim
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
¢
x
=
¡1
¢
x!
0
cozapisujemyf
0
(
x
0
)=+
1lubf
0
(
x
0
)=
¡1.
Analogiczniedefiniujesi¸eioznaczapochodneniewÃla´sciwejednostronne.
folia3,wyklad4.tex,15.10.2002
f
(
x
0
+¢
x
)
¡f
(
x
0
)
Pochodnefunkcjielementarnych
[
c
]
0
=0
;c2IR
[
x
®
]
0
=
®x
®¡
1
;®2IR
[
a
x
]
0
=
a
x
ln
a;a>
0
;a6
=1
[
e
x
]
0
=
e
x
[sin
x
]
0
=cos
x
[cos
x
]
0
=
¡
sin
x
cos
2
x
=1+tg
2
x;x2IRnfx
=
¼
2
+
k¼;k2Zg
[ctg
x
]
0
=
¡
1
sin
2
x
=
¡
1
¡
ctg
2
x;x2IRnfx
=
k¼;k2Zg
[sinh
x
]
0
=cosh
x
[cosh
x
]
0
=sinh
x
cosh
2
x
[ctgh
x
]
0
=
¡
1
sinh
2
x
;x2IRnf
0
g
[log
a
x
]
0
=
1
x
ln
a
;a>
0
;a6
=1
;x>
0
[ln
x
]
0
=
1
x
;x>
0
[arcsin
x
]
0
=
1
p
1
¡x
2
;jxj<
1
[arccos
x
]
0
=
¡
1
p
1
¡x
2
;jxj<
1
[arctg
x
]
0
=
1
1+
x
2
[arcctg
x
]
0
=
¡
1
1+
x
2
folia4,wyklad4.tex,15.10.2002
[tg
x
]
0
=
1
[tgh
x
]
0
=
1
Twierdzeniaopochodnejfunkcji
Twierdzenie3(odziaÃlaniacharytmetycznychnapochodnych)
Je˙zeliistniej¸apochodnewÃla´sciwef
0
(
x
)
ig
0
(
x
)
,to
[
f
(
x
)
¨g
(
x
)]
0
=
f
0
(
x
)
¨g
0
(
x
)
[
c¢f
(
x
)]
0
=
c¢f
0
(
x
)
,c2IR,c
=
const
[
f
(
x
)
¢g
(
x
)]
0
=
f
0
(
x
)
¢g
(
x
)+
f
(
x
)
¢g
0
(
x
)
2
4
f
(
x
)
g
(
x
)
3
0
=
f
0
(
x
)
¢g
(
x
)
¡f
(
x
)
¢g
0
(
x
)
g
2
(
x
)
,oileg
(
x
)
6
=0
5
Twierdzenie4(opochodnejfunkcjizÃlo˙zonej)
Je˙zeli
1.funkcjahmapochodn¸awpunkciex,
2.funkcjafmapochodn¸awpunkciey
=
h
(
x
)
,
tofunkcjazÃlo˙zonaf±hmawpunkciexpochodn¸a
[(
f±h
)(
x
)]
0
=
f
0
(
h
(
x
))
¢h
0
(
x
)
Twierdzenie5(opochodnejfunkcjiodwrotnej)
Je˙zelifunkcja-
x
=
f
(
y
)
jest´sci´slemonotonicznaiposiadafunkcj¸epochodn¸af
0
(
y
)
6
=
0
,tofunkcjay
=
f
¡
1
(
x
)
odwrotnadoniejposiadafunkcj¸epochodn¸a
[
f
¡
1
(
x
)]
0
,przyczym
[
f
¡
1
(
x
)]
0
=
1
f
0
(
y
)
;gdziey
=
f
¡
1
(
x
)
dlaka˙zdegox2D
f
.
folia5,wyklad4.tex,17.10.2002
[ Pobierz całość w formacie PDF ]