wyklad13, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ZastosowaniageometrycznecaÃlkioznaczonej
I.PolefigurypÃlaskiej
Fakt1
Niechdaneb¸ed¸afunkcjef
(
x
)
ig
(
x
)
ci¸agÃlenaprzedzialeha;bi
owarto´sciachnieujemnych,tzn.f
(
x
)
¸
0
ig
(
x
)
¸
0
,speÃlniaj¸ace
nier´owno´s´cf
(
x
)
¸g
(
x
)
dladowolnegox2ha;bi.
Wtedypolefigury(trapezukrzywoliniowego)ograniczonejprostymix
=
a,x
=
borazkrzywymiy
=
f
(
x
)
iy
=
g
(
x
)
wyra˙zasi¸ewzorem
b
Z
jDj
=
[
f
(
x
)
¡g
(
x
)]
dx
a
Fakt2
Niechdaneb¸ed¸afunkcjef
1
(
y
)
ig
1
(
y
)
ci¸agÃlenaprzedzialehc;di
owarto´sciachnieujemnych,tzn.f
1
(
y
)
¸
0
ig
1
(
y
)
¸
0
,speÃlniaj¸ace
nier´owno´s´cf
1
(
y
)
¸g
1
(
y
)
dladowolnegoy2hc;di.
Wtedypolefigury(trapezukrzywoliniowego)ograniczonejprostymiy
=
c,y
=
dorazkrzywymix
=
f
1
(
y
)
ix
=
g
1
(
y
)
wyra˙zasi¸ewzorem
d
Z
jDj
=
[
f
1
(
y
)
¡g
1
(
y
)]
dy
c
Fakt3
Je˙zelifunkcjaf
(
x
)
ci¸agÃlanaprzedzialeha;bidanajestparame-
trycznier´ownaniami
x
=
x
(
t
)
;y
=
y
(
t
)
; dlat2h®;¯i
przyczymx
(
®
)=
a,x
(
¯
)=
b,funkcjex
(
t
)
,y
(
t
)
orazdodatniapochodna
dx
czonejdan¸akrzyw¸aiosi¸aOX,wyra˙zasi¸ewzorem
jDj
=
¯
Z
jy
(
t
)
j¢x
0
(
t
)
dt
®
folia1,wyklad13.tex,19.11.2002
dt
s¸aci¸agÃlenaprzedzialeh®;¯i,topolejDjfigurypÃlaskiej,ograni-
II.DÃlugo´s´cÃluku
Definicja1(ÃlukuzwykÃlego)
ÃLukiemzwykÃlymnapÃlaszczy´znienazy-
wamylini¸eor´ownaniu
y
=
f
(
x
)
;x2ha;bi
gdzief
(
x
)
jestfunkcj¸aci¸agÃl¸a.PunktyA
(
a;f
(
a
))
iB
(
b;f
(
b
))
nazywamy
ko´ncamiÃluku
d
AB.Je˙zeliA6
=
B,toÃluknazywamyotwartym,je˙zeli
A
=
B,tozamkni¸etymlubzwykÃl¸akrzyw¸azamkni¸et¸a.
Je˙zelifunkcjaf
(
x
)
posiadaci¸agÃl¸apochodn¸a,toÃlukzwykÃlynazywamy
gÃladkim.
Oznaczmyprzez
A
k
(
x
k
;y
k
),gdzie
y
k
=
f
(
x
k
),
k
=0
;
1
;
2
;:::;n
,
A
=
A
0
i
B
=
A
n
.ÃL¸acz¸acpunkty
A
k
otrzymujemyÃlaman¸a
A
0
A
1
:::A
n¡
1
A
n
wpisan¸a
wÃluk
d
AB
.
We´zmypoduwag¸edÃlugo´s´cÃlamanej
A
0
A
1
:::A
n¡
1
A
n
.
Definicja2(dÃlugo´sciÃluku)
DÃlugo´sci¸aLÃluku
d
ABnazywamygranic¸e
(oileistnieje)dÃlugo´sciÃlamanejwpisanejwtenÃlukprzyilo´sciodcink´ow
Ãlamanejd¸a˙z¸acejdoniesko´nczono´sciidÃlugo´scinajdÃlu˙zszegoodcinka
Ãlamanejd¸a˙z¸acegodozera.
Fakt4
Je˙zelifunkcjafposiadaci¸agÃl¸apochodn¸anaprzedzialeha;bi
todÃlugo´s´cÃluku
d
ABokre´slonegor´ownaniemy
=
f
(
x
)
,dlax2ha;bi
wyra˙zasi¸ewzorem
b
Z
r
jLj
=
1+[
f
0
(
x
)]
2
dx
a
Fakt5
Je˙zelifunkcjafdanajestr´ownaniamiparametrycznymix
=
x
(
t
)
,y
=
y
(
t
)
,dlat2h®;¯iprzyczymx
(
®
)=
a,x
(
¯
)=
boraz
funkcjex
(
t
)
iy
(
t
)
posiadaj¸aci¸agÃlepochodnewprzedzialeh®;¯i,to
dÃlugo´s´cÃluku
d
ABwyra˙zasi¸ewzorem
jLj
=
¯
Z
r
[
x
0
(
t
)]
2
+[
y
0
(
t
)]
2
dt
®
folia2,wyklad13.tex,19.11.2002
III.Obj¸eto´s´cbryÃlyobrotowej
Fakt6
Niechfunkcjanieujemnafb¸edzieci¸agÃlanaprzedzialeha;bi.
PonadtoniechToznaczatrapezkrzywoliniowyograniczonywykresem
funkcjif
(
x
)
,osi¸aOXorazprostymix
=
aix
=
b.Wtedyobj¸eto´s´c
bryÃlyVpowstaÃlejprzezobr´ottrapezukrzywoliniowegoTwok´oÃlosiOX
wyra˙zasi¸ewzorem
b
Z
f
2
(
x
)
dx
jVj
=
¼
a
Fakt7
Je˙zelifunkcjafdanajestr´ownaniamiparametrycznymi
x
=
x
(
t
)
;y
=
y
(
t
)
; dlat2h®;¯i
dt
s¸aci¸agÃle
wprzedzialeh®;¯i,toobj¸eto´s´cbryÃlyVpowstaÃlejprzezobr´ottrapezu
krzywoliniowegoTwok´oÃlosiOXwyra˙zasi¸ewzorem
¯
Z
y
2
(
t
)
¢jx
0
(
t
)
jdt
jVj
=
¼
®
folia3,wyklad13.tex,19.11.2002
przyczymx
(
®
)=
a,x
(
¯
)=
borazfunkcjex
(
t
)
,y
(
t
)
i
dx
IV.PolepowierzchnibocznejbryÃlyobrotowej
Fakt8
Niechfunkcjanieujemnafb¸edzieci¸agÃlawrazzpierwsz¸apochod-
n¸anaprzedzialeha;bi.PonadtoniechToznaczatrapezkrzywoliniowy
ograniczonywykresemfunkcjif
(
x
)
,osi¸aOXorazprostymix
=
ai
x
=
b.WtedypoleSpowierzchnibocznejbryÃlypowstaÃlejprzezobr´ot
trapezukrzywoliniowegoTwok´oÃlosiOXwyra˙zasi¸ewzorem
b
Z
r
jSj
=2
¼
f
(
x
)
1+[
f
0
(
x
)]
2
dx
a
Fakt9
Je˙zelifunkcjafdanajestr´ownaniamiparametrycznymi
x
=
x
(
t
)
;y
=
y
(
t
)
; dlat2h®;¯i
przyczymx
(
®
)=
a,x
(
¯
)=
borazy
(
t
)
¸
0
,funkcjex
(
t
)
,y
(
t
)
,
dx
dt
i
dy
dt
s¸aci¸agÃlewprzedzialeh®;¯i,topoleSpowierzchnibocznejbryÃly
powstaÃlejprzezobr´ottrapezukrzywoliniowegoTwok´oÃlosiOXwyra˙za
si¸ewzorem
¯
Z
r
[
x
0
(
t
)]
2
+[
y
0
(
t
)]
2
dt
jSj
=2
¼
y
(
t
)
®
folia4,wyklad13.tex,19.11.2002
[ Pobierz całość w formacie PDF ]