wyklad11, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
CaÃlkioznaczone
Definicja1(podziaÃluprzedziaÃlu)
PodziaÃlemP
n
przedziaÃlu<a;b>
nanpodprzedziaÃl´ow,gdzien2N,nazywamyzbi´or
P
n
=
fx
0
;x
1
;:::;x
n¡
1
;x
n
g
przyczyma
=
x
0
<x
1
<x
2
<:::<x
n¡
1
<x
n
=
b.
DÃlugo´s´cpodprzedziaÃlu<x
k¡
1
;x
k
>,k
=1
;
2
;:::;n,oznaczanaprzez
¢
x
k
,jestr´owna
¢
x
k
=
x
k
¡x
k¡
1
1
·k·n
¢
x
k
nazywamy´srednic¸apodziaÃluP
n
.
Niech
x
¤
k
2<x
k¡
1
;x
k
>
oznaczapunktpo´sredni
k
-tegopodprzedziaÃlu,dla
k
=1
;
2
;:::;n
.
Definicja2(sumycaÃlkowejRiemanna)
Niechfunkcjafb¸edzie-
ograniczonanaprzedziale<a;b>orazniechP
n
b¸edziepodziaÃlem
tegoprzedziaÃlu.Sum¸acaÃlkow¸aRiemannafunkcjifodpowiadaj¸ac¸a
podziaÃlowiP
n
przedziaÃlu<a;b>orazpunktompo´srednimx
¤
k
,dla
k
=1
;
2
;:::;n,tegopodziaÃlunazywamyliczb¸e
¾
(
f;P
n
)
def
=
n
X
k
=1
f
(
x
¤
k
)
¢
¢
x
k
Definicja3(ci¸agunormalnegopodziaÃl´ow)
Ci¸ag
(
P
n
)
nazywamy
ci¸agiemnormalnympodziaÃl´ow,je˙zeliodpowiadaj¸acymuci¸ag´srednic
(
±
n
)=(
±
(
P
n
))
d¸a˙zydozera,tj.
lim
n!1
±
n
=0
.
folia1,wyklad11.tex,12.11.2002
Liczb¸e±
(
P
n
)=max
Ka˙zdemuci¸agowipodziaÃl´ow(
P
n
)odpowiadaci¸agsumcaÃlkowych(
¾
n
),
kt´oregowyrazog´olny
¾
n
=
¾
(
f;P
n
)zale˙zyodwyborupunkt´owpo´srednich
k
2<x
(
n
)
k¡
1
;x
(
n
)
k
>;k
=1
;
2
;:::;n;n2Nnf
1
g
Definicja4(caÃlkioznaczonejRiemanna)
Je˙zelidlaka˙zdegoci¸agu
normalnegopodziaÃl´owprzedziaÃlu<a;b>ci¸agsumcaÃlkowych
(
¾
n
)
jest
zbie˙znydotejsamejgranicywÃla´sciwej,niezale˙znejodwyborupunkt´ow
x
¤
k
,tot¸egranic¸enazywamycaÃlk¸aoznaczon¸a(Riemanna)funkcjifna
przedziale<a;b>ioznaczamysymbolem
b
Z
f
(
x
)
dx
a
tj.
b
Z
f
(
x
)
dx
def
=lim
±
n
!
0
n
X
f
(
x
¤
k
)
¢
¢
x
k
a
k
=1
Podpoj¸eciemcaÃlkioznaczonejrozumiemycaÃlk¸eoznaczon¸aRiemanna.
PrzedziaÃl
<a;b>
nazywamyprzedziaÃlemcaÃlkowania
a
nazywamydoln¸agranic¸acaÃlkowania
b
nazywamyg´orn¸agranic¸acaÃlkowania
f
(
x
) nazywamyfunkcj¸apodcaÃlkow¸a
Definicja5
Je˙zeliistniejecaÃlkaoznaczonaRiemannadlafunkcjif,
tom´owimy,˙zefunkcjafjestR-caÃlkowalnanaprzedziale<a;b>.
folia2,wyklad11.tex,12.11.2002
x
¤
(
n
)
Twierdzenie1(warunekkonieczny
R
-caÃlkowalno´scifunkcji)
-
Je˙zelifunkcjafjestR-caÃlkowalnanaprzedziale<a;b>,tojest
funkcj¸aograniczon¸anatymprzedziale.
Twierdzenie2(warunekwystarczaj¸acycaÃlkowalno´scifunkcji)
Je˙zelifunkcjafjestograniczonanaprzedziale<a;b>imanatym
przedzialesko´nczon¸aliczb¸epunkt´ownieci¸agÃlo´scipierwszegorodzaju,to
jestnatymprzedzialecaÃlkowalna.
Wniosek1
Funkcjaci¸agÃlanaprzedzialedomkni¸etymjestnatymprze-
dzialecaÃlkowalna.
folia3,wyklad11.tex,12.11.2002
WÃlasno´scicaÃlkioznaczonej
Twierdzenie3(oliniowo´scicaÃlkioznaczonej)
Je˙zelifunkcjefi
gs¸acaÃlkowalnenaprzedziale<a;b>,to
b
Z
b
Z
b
Z
1.
[
f
(
x
)
¨g
(
x
)]
dx
=
f
(
x
)
dx¨
g
(
x
)
dx
a
a
a
b
Z
b
Z
2.
A¢f
(
x
)
dx
=
A¢
f
(
x
)
dx;A2IR
a
a
Twierdzenie4(oaddytywno´scicaÃlkiwzgl¸edemprzedziaÃlucaÃlk.)
Je˙zelifunkcjafjestcaÃlkowalnanaprzedziale<a;b>ic2
(
a;b
)
,to
b
Z
f
(
x
)
dx
=
c
Z
f
(
x
)
dx
+
b
Z
f
(
x
)
dx
a
a
c
Definicja6
Przyjmujemy
a
Z
f
(
x
)
dx
=0
a
b
Z
a
Z
f
(
x
)
dx
=
¡
f
(
x
)
dx
a
b
Twierdzenie5(caÃlkafunkcjinieparzystejiparzystej)
Je´slifun-
kcjafjestcaÃlkowalnanaprzedziale<¡a;a>oraz
1.jestnieparzysta,to
a
Z
f
(
x
)
dx
=0
¡a
2.jestparzysta,to
a
Z
f
(
x
)
dx
=2
a
Z
f
(
x
)
dx
¡a
0
folia4,wyklad11.tex,12.11.2002
PodstawowetwierdzeniarachunkucaÃlkowego
Twierdzenie6(caÃlkoweowarto´sci´sredniej)
Je˙zelifunkcjafjest
ci¸agÃlawprzedziale<a;b>,toistniejepunktc2<a;b>,taki˙ze
1
b¡a
b
Z
f
(
x
)
dx
=
f
(
c
)
a
Definicja7
Niechfb¸edziecaÃlkowalnana<a;b>i®2<a;b>
b¸edziedowolnieustalon¸aliczb¸a.
Dladowolnegox2<a;b>okre´slamyfunkcj¸e
F
(
x
)=
x
Z
f
(
t
)
dt
®
nazywan¸afunkcj¸ag´ornejgranicycaÃlkowania.
Twierdzenie7
Je˙zelifunkcjafjestcaÃlkowalnanaprzedziale<a;b>
i®2<a;b>tofunkcjaF
(
x
)
jestfunkcj¸aci¸agÃl¸azmiennejxwtym
przedziale.
Twierdzenie8(pierwszetwierdz.gÃl´ownerachunkucaÃlkowego)
Je´slifjestfunkcj¸acaÃlkowaln¸anaprzedziale<a;b>,®2<a;b>
jestdowolnieustalon¸aliczb¸a,tofunkcja
x
Z
F
(
x
)=
f
(
t
)
dt
®
jestr´o˙zniczkowalnaimapochodn¸a
F
0
(
x
)=
f
(
x
)
wka˙zdympunkciex2<a;b>,wkt´orymfunkcjafjestci¸agÃla.
folia5,wyklad11.tex,14.11.2002
[ Pobierz całość w formacie PDF ]