wyklad0, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wprowadzeniedofunkcji
Denicja1(funkcji)
NiechzbioryX,Y
IRb¦d¡niepuste.Funkcj¡okre±lon¡nazbiorze
Xowarto±ciachwzbiorzeYnazywamyprzyporz¡dkowanieka»demu
elementowix
2
Xdokładniejednegoelementuy
2
Y.
Funkcj¦tak¡oznaczamyprzezf
:
X
−!
Y.
Warto±¢funkcjifwpunkciexoznaczamyprzezf
(
x
)
.
Denicja2(dziedziny,przeciwdziedziny,zbioruwarto±cifunkcji)
Niechf
:
X
−!
Y.WówczaszbiórXnazywamydziedzin¡funkcji
fioznaczamyprzezD
f
,azbiórYnazywamyjejprzeciwdziedzin¡i
oznaczamyD
−
1
{
f
(
x
)
2
Y
:
x
2
D
f
}
nazywamyzbioremwarto±cifunkcjifioznaczamyprzezW
f
.
Je»elidanyjesttylkowzórokre±laj¡cyfunkcj¦,tozbiórtychliczb
rzeczywistych,dlaktórychwzórtenmasensnazywamydziedzin¡natu-
raln¡funkcji.
Denicja3(wykresufunkcji)
Wykresemfukcjif
:
X
−!
Ynazywamyzbiór
{
(
x,y
)
2
IR
2
:
x
2
X,y
=
f
(
x
)
}
Uwaga1
PodzbiórpłaszczyznyXOYjestwykresempewnejzmiennej
x,gdyka»daprostapionowaprzecinagoconajwy»ejwjednympunkcie.
folia1,wyklad0.tex,05.10.2005
f
lub
f
.Ponadtozbiór
Denicja4(funkcjiokresowej)
Funkcjaf
:
X
−!
IRjestokresowa,je»eli
_
^
(
x
±
T
2
Xorazf
(
x
+
T
)=
f
(
x
))
T>
0
x
2
X
Liczb¦Tnazywamyokresemfunkcjif.
Je»eliistniejenajmniejszyokresfunkcjif,tonazywamygookresem
podstawowym.
Denicja5(funkcjiparzystej)
Funkcjaf
:
X
−!
IRjestparzysta,je»eli
^
(
−
x
2
Xorazf
(
−
x
)=
f
(
x
)
x
2
X
Uwaga2
Funkcjajestparzysta,gdyo±OYjestosi¡symetriijejwykresu.
Denicja6(funkcjinieparzystej)
Funkcjaf
:
X
−!
IRjestnieparzysta,je»eli
^
(
−
x
2
Xorazf
(
−
x
)=
−
f
(
x
)
x
2
X
Uwaga3
Funkcjajestnieparzysta,gdypocz¡tekukładuwspółrz¦dnych
jest±rodkiemsymetriijejwykresu.
folia2,wyklad0.tex,05.10.2005
Denicja7(funkcjiograniczonejzdołu)
FunkcjafjestograniczonazdołunazbiorzeA
D
f
,je»elizbiórjej
warto±cinatymzbiorzejestograniczonyzdołu,tzn.
_
^
f
(
x
)
m
m
2
IR
x
2
A
Uwaga4
Funkcjajestograniczonazdołu,gdyjejwykresle»ynad
pewn¡prost¡poziom¡.
Denicja8(funkcjiograniczonejzgóry)
FunkcjafjestograniczonazgórynazbiorzeA
D
f
,je»elizbiórjej
warto±cinatymzbiorzejestograniczonyzgóry,tzn.
_
^
f
(
x
)
¬
M
M
2
IR
x
2
A
Uwaga5
Funkcjajestograniczonazgóry,gdyjejwykresle»ypod
pewn¡prost¡poziom¡.
Denicja9(funkcjiograniczonej)
FunkcjafjestograniczonanazbiorzeA
D
f
,je»elijestograniczona
zdołuizgórynatymzbiorze,tzn.
_
^
m
¬
f
(
x
)
¬
M
m,M
2
IR
x
2
A
Uwaga6
Funkcjajestograniczona,gdyjejwykresjestpoło»onymi¦dzy
dwiemaprostymipoziomymi.
folia3,wyklad0.tex,05.10.2005
Denicja10(funkcjimonotonicznej)
Funkcjafjest
•
rosn¡canazbiorzeA
D
f
,je»eli
^
[(
x
1
<x
2
)=
)
(
f
(
x
1
)
<f
(
x
2
))]
x
1
,x
2
2
A
•
malej¡canazbiorzeA
D
f
,je»eli
^
[(
x
1
<x
2
)=
)
(
f
(
x
1
)
>f
(
x
2
))]
x
1
,x
2
2
A
•
niemalej¡ca(słaborosn¡ca)nazbiorzeA
D
f
,je»eli
^
[(
x
1
<x
2
)=
)
(
f
(
x
1
)
¬
f
(
x
2
))]
x
1
,x
2
2
A
•
nierosn¡ca(słabomalej¡ca)nazbiorzeA
D
f
,je»eli
^
[(
x
1
<x
2
)=
)
(
f
(
x
1
)
f
(
x
2
))]
x
1
,x
2
2
A
FunkcjafjestmonotonicznanazbiorzeA
D,je»elijestrosn¡calub
malej¡calubnierosn¡calubte»niemalej¡canatymzbiorze.
Denicja11(funkcjizło»onej)
NiechX,Y,Z,W
IRb¦d¡niepuste,przyczymY
Zorazniech
f
:
X
−!
Y,g
:
Z
−!
W.Zło»eniemfunkcjigifnazywamyfunkcj¦
g
f
:
X
−!
Wokre±lon¡wzorem
(
g
f
)(
x
)
def
=
g
(
f
(
x
))
dlax
2
X
Denicja12(funkcjiró»nowarto±ciowej)
Funkcjafjestró»nowarto±ciowanazbiorzeA
D
f
,je»eli
^
[(
x
1
6
=
x
2
)=
)
(
f
(
x
1
)
6
=
f
(
x
2
))]
x
1
,x
2
2
A
Uwaga7
Funkcjafjestró»nowarto±ciowanazbiorzeA,gdyka»da
prostapoziomaprzecinafragmentwykresule»¡cynadlubpodzbiorem
Aconajwy»ejwjednympunkcie.
folia4,wyklad0.tex,05.10.2005
Uwaga8
Przysprawdzaniuró»nowarto±ciowo±cifunkcjiwygodniejest
korzysta¢zdenicjirównowa»nej:
^
[(
f
(
x
1
)=
f
(
x
2
))=
)
(
x
1
=
x
2
)]
x
1
,x
2
2
A
Denicja13(funkcji„na”)
FunkcjafodwzorowujezbiórXnazbiórY,cozapisujemyf
:
X
na
−!
Y,
wtedyitylkowtedy,gdyW
f
=
Y,tzn.
^
_
f
(
x
)=
y
y
2
Y
x
2
X
Wówczaszbiórwarto±cifunkcjipokrywasi¦zprzeciwdziedzin¡funkcji.
−!
Yb¦dzieró»nowarto±ciowanadziedzinie.
Funkcj¡odwrotn¡dofunkcjifnazywamyfunkcj¦f
−
1
:
Y
−!
X
okre±lon¡nast¦puj¡co:
f
−
1
(
y
)
def
=
x
()
y
=
f
(
x
)
,gdziex
2
X,y
2
Y
Uwaga9
Wykresfunkcjiodwrotnejf
−
1
otrzymujemyzwykresufunkcji
fodbijaj¡cgosymetryczniewzgl¦demprostejy
=
x.
Wniosek1
Niechfunkcjaf
:
X
na
−!
Yb¦dzieró»nowarto±ciowa.
Wówczas
^
f
−
1
(
f
(
x
))=
xorazf
(
f
−
1
(
x
))=
x
x
2
X
folia5,wyklad0.tex,05.10.2005
Denicja14(funkcjiodwrotnej)
Niechfunkcjaf
:
X
na
[ Pobierz całość w formacie PDF ]