wyklad pochodne rozniczki, Studia, Sem 1,2 +nowe
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji
1/30
Pochodne funkcji
w tym: wstępne wiadomości na temat całkowania
Jak zwykle, pewne wymagania, niestety – tutaj będę typowym skurwysynem, prowadzącym
nudny wykład, gdyż wymagań będzie sporo.
Umieć liczyć proste granice i kartka z pochodnymi, ewentualnie pół litra na poprawę
wyobraźni.
Zaczynamy dosyć szybko od powtórzenia, czym jest ta pochodna (niestety, wybaczcie za
cytowanie osoby, o której powinno się zapomnieć, mimo wszystko – w myśl zasady, że kłamstwo
powtarzane sto razy staje się prawdą). Można to oczywiście, jeżeli ktoś miał nieprzyjemność czytać
moje ostatnie wypociny – ominąć i przejść do połowy następnej strony. Przykłady – od połowy
strony siódmej, więc te nudne teorie można sobie spokojnie ominąć.
1. Co to jest pochodna?
Zadaliśmy sobie proste pytanie: „Jak bardzo rośnie, albo zmienia się wartość jakiejśtam
funkcji z powodu zmiany iksów”?
Narysowaliśmy prosty rysunek:
Powiedzmy, że ta pozioma, leżąca na iksach kreska to zmiana, czy tam różnica iksów.
Pionowa – to różnica w igrekach. Ukośna – to sieczna funkcji, a by być bardziej dokładnym
(dlatego właśnie nie powinno się uczyć z tych ściąg) kawałek siecznej funkcji.
Zauważmy, że im bardziej funkcja zapierdala w górę, tym większy będzie kąt nachylenia tej
ukośnej kreski. A kąt nachylenia, właściwie tangens tego kąta, zgodnie z funkcjami
trygonometrycznymi, będzie równy:
tg α
=
pionowaczerwona kreska
pozioma czerwona kreska
Czyli:
tg α
=
f
x
1
−
f
x
2
x
1
−
x
2
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji
2/30
I jedna sprawa, o której nie wspomniałem w ściądze z granic funkcji. Często tego tangensa
nazywa się
ilorazem różnicowym
. Nazwa, powiedzmy, logiczna – mamy iloraz (dzielenie) dwóch
jakiś tam różnic. Dodatkowo - różnicę w iksach oznacza się literką
h
.
Zadano sobie pytanie – co się będzie dziać z tym tangensem, czy też ilorazem różnicowym,
gdy będziemy te iksy do siebie zbliżać. Użyję kontrowersyjnego stwierdzenia – zbliżać na
nieskończenie bliską odległość? Możemy zapisać to jako po prostu kolejną granicę do rozwalenia:
lim
x
x
0
f
x
−
f
x
0
x
−
x
0
Lub też można zapisać to inaczej:
Wiemy, że różnicę w iksach - w zapisie ilorazu różnicowego oznaczamy przez h.
h
=
x
−
x
0
Ponieważ wiemy, że to do siebie „zbliżamy”, więc różnica między nimi będzie coraz bliżej
zera.
x
−
x
0
0
Więc i
h
będzie dążyć do zera:
h
0
Jeżeli teraz za
x
podstawimy
h + x
o
i zrobimy cywilizowaną granicę, to możemy sobie tak
popisać:
lim
h
0
f
x
o
h
−
f
x
0
h
I to również będzie wzorek na wyliczenie...
Właśnie, w ten sposób wyliczymy
pochodną funkcji w punkcie x
o
, a jeżeli powiemy sobie
tak:
x
o
to takie zwierzątko, za które możemy wstawić cokolwiek, to w ten sposób wyliczymy,
ogólnie mówiąc
pochodną funkcji
.
Zamiast mówić, że „zapierdalam jak głupi, żeby znaleźć i zapisać wreszcie tą pieprzoną
pochodną”, mówimy, że
różniczkujemy funkcję
, czyli, mówiąc językiem już bardziej
cywilizowanym – szukamy pochodnej do danej funkcji.
Notabene, często możemy pojawić się z takim zapisem:
dy
dx
Oznacza to nic innego, że funkcję
y
rąbiemy względem zmiennej
x
. Zmienna
x
jest tą
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji
3/30
zmienną, którą odpowiednio traktujemy – tak, jak Bóg przykazał w tablicach. Nie oznacza to, broń
Boże, że my tutaj wykonujemy jakiekolwiek dzielenie, że mamy tu jakiś ułamek, niezwłocznie do
policzenia. To tylko taki symboliczny zapis, jak
i
(część urojona) w liczbach zespolonych, z którą
nic nie cudujemy. Ma to tylko pokazać, uwypuklić nam, że
aha, po znaku „równa się” będzie jakaś
pochodna
.
Ten powyższy zapis nie wziął się z sufitu... chociaż, prawdę mówiąc, większość rzeczy w
matematyce bierze się z dupy, a tu nagle okazuje się, że matematycy są doskonałymi proktologami i
do czegoś się to przydaje.
Zapiszmy sobie różnicę w wartościach funkcji przez
Δf [ Δf = f(x
1
) – f(x
2
) ]
, zaś różnicę w
samych iksach – przez
Δx [ Δx = x
1
– x
2
]
Więc nasz kąt nachylenia siecznej, iloraz różnicowy, cokolwiek – będzie wyglądać tak:
Δf
Δx
Zaś jeżeli będziemy zmniejszać różnicę pomiędzy iksami, to notabene dojdziemy do
pochodnej:
lim
Δx
0
Δf
Δx
I w takim zapisie sobie ludzie wymielili kanciaste delty na bardziej kształtne literki
d
:
lim
Δx
0
Δx
=
df
dx
Za niedługo będziemy ryzykować mnożeniem przez to tajemnicze
dx
, najpierw jednak...
2. O co w ogóle tyle szumu z pochodną?
No właśnie, ktoś wyskoczył z jakąś pochodną, ktoś coś narozrabiał, kogoś wykorzystał,
rzuca jakieś hasło „pochodna”, nie daj Boże jeszcze jakieś dziwne „różniczka”, po co to komu?
Pamiętamy, że pochodna to taki wichajster, taki zawodnik, który mówi nam, jak szybko
funkcja zapierdala w górę albo w dół. Owszem, my se możemy zrobić wykres funkcji, powiedzieć,
że gdzieś tam funkcja idzie w górę, a gdzieś w dół. Chcielibyśmy wiedzieć,
jak
funkcja się zmienia.
Na to pytanie odpowiada właśnie pochodna. Im jest większa w danym punkcie – tym
bardziej funkcja jest nachylona. Na przykład, jeżeli gdzieś w którymś miejscu funkcji wartość
pochodnej (nie funkcji!) jest ujemna, ba, bardzo ujemna, na przykład (-100), oznacza to, że w tym
miejscu wartość funkcji leci ostro jak cholera w dół, że ja Ciebie nie mogę, jak notowania Polaków
po meczu ze Słowacją. Jeżeli gdzieś wartość pochodnej będzie równa na przykład (-0,05), to
wartość tej naszej funkcji będzie sobie powolutku, niemal nieodczuwalnie, lecieć w dół.
Jak w którymś miejscu funkcji wartość pochodnej będzie równa 200 – to powiedzieć, że
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Δf
Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji
4/30
wartość funkcji „zapierdala w górę”, to mało powiedziane, bo będzie tak ostro jechać w górę, że
wręcz wyda nam się, że jest ustawiona pod kątem prostym. I znów – jeżeli wartość pochodnej
będzie równa z 0,4, to wartość funkcji będzie sobie powolutku szła w górę.
Matematycy, jak to w ich zwyczaju, pobadali pochodną jak się tylko da. Pododawali
zmienne, wymyślili, jak odwracać liczenie pochodnych, jakieś różniczki zupełne, gradienty, punkty
siodłowe i cholera wie, co jeszcze.
I to byłby koniec, jacyś szaleńcy coś sobie takiego wymyślili, po co to komu, daj Pan spokój
i idź z tym w cholerę. Niestety, pewna dziedzina nauk dała o osobie znać, a potem to już samo się
rozwinęło.
Męczą ludzi czymś takim, jak fizyka. Zadaniami z pociągami – w którym miejscu się
zderzą, ile się trzeba namęczyć, by podnieść 130 na klatę, ile ładunku wejdzie w kondensator, takie
tam duperele. Jednocześnie, zauważmy, że w większości przypadków fizyka opisuje pewne
zmiany
,
lub też jakieś dziwne teorie, by do tych
zmian
nie dochodziło.
Skoro pojęcie pochodnej opisuje również pewną zmianę, to zboczeńcy zaczęli się bawić
pochodną w fizyce. Co gorsza, wyszło im to całkiem znośnie, więc to od razu poszło na elektronikę,
mechanikę, ba, nawet w ekonomię.
I tutaj niestety, bryk zamienia się w nudny, zieeeew, wykład z fizyki, więc komu życie miłe
– jechać w dół, dopóki nie dam znaku, ba, nawet podkreślę miejsce, od którego przestanę błądzić.
Załóżmy, że mamy se jakiegoś zawodnika, punkt, cholera wie co – to i tak nie ważne, który
porusza się wzdłuż jakiejś prostej, o na przykład – takiej osi:
I mamy jakąś tam funkcję, w którą wrzucamy – jaki aktualnie jest czas, a ona wypluwa nam
– gdzie na tej osi jest zawodnik. Taką analogią może być np. rozkład jazdy jakiegoś autobusu. Jeżeli
znamy konkretną godzinę, to możemy sobie wejść na stronę z rozkładami, odpowiednio obadać i
wiemy, że konkretny autobus będzie o tej i to tej godzinie w tym, albo w tamtym miejscu.
Bierzemy na przykład rozkład jazdy PKSów do jakiejś nieskomplikowanej wsi, powiedzmy
– linia 152 do Blachowni. O godzinie 7:05 odjeżdża z dworca. My wiemy, że dwie minuty później
jest na Sobieskiego, o godzinie 7:21 jest w Gnaszynie, Wyrazów nawiedza o godzinie 7:27, siedem
minut później już zapieprza po Blachowni, by o godzinie 7:47 autobus zawitał na smętarzu w tym –
całkiem serio i na poważnie – urokliwym miasteczku.
Zauważcie, że wystarczy, że znamy czas – i mniej więcej wiemy, gdzie się ten autobus
znajdzie. W związku z tym, możemy ni z dupy, ni z niczego sobie wymyśleć taką absurdalną
funkcję, takie „czarne pudełko” o takiej sygnaturze:
f:
Godzina -> Miejsce, w którym jest autobus
Czyli my w tą funkcję wrzucimy godzinę, a ona nam wypluje, nie wiem, napis, albo
konkretne współrzędne... mniejsza z tym – wypluje nam miejsce, w którym znajdzie się autobus.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
Analiza matematyczna I / Pochodne funkcji
5/30
Na przykład, wynikiem
f(7:05)
będzie
Częstochowa, Dworzec Autobusowy
. Wynikiem
f(7:37)
będzie
Blachownia, Prażynka
. Albo
f(7:23) – Gnaszyn, Dworzec PKP
. Jak widzicie, do
określenia położenia danego autobusu jest nam potrzebny tylko czas – i jakiś sposób, by zobaczyć,
gdzie się PKS w tym czasie znajdzie.
Przejdźmy już do bardziej matematyczno – fizycznego przykładu, czyli tego ludzika.
Równie dobrze może on chodzić ruchem jednostajnym – wtedy wzór na położenie, czyli S, to:
S = v * t
ale równie dobrze ten wzór na położenie może mieć postać:
S
=
t
3
3∗
t
2
−666∗
t
−71
Ale nie kombinujmy, załóżmy, że ten ludzi se idzie i idzie ruchem jednostajnym, co
opiszemy tym łatwiejszym ze wzorów, na przykład:
S = 5 * t [m]
co nawet powinniśmy zapisać w taki sposób:
S(t) = 5 * t [m]
,
przez co my wyraźnie pokazujemy, że jedynie
t
będzie się w tym potworku zmieniać.
Załóżmy, że startujemy od jakiegoś punktu 0:
Ale po pięciu sekundach będzie na dwudziestym piątym metrze (wystarczy sobie podstawić
za
t
wartość 5):
Jak widzimy, jego położenie
zmieniło się w tym czasie, będzie się zmieniać
wraz z czasem.
No bo na przykład po pierwszej sekundzie będzie na piątym metrze, po drugiej – na dziesiątym, po
trzeciej – na piętnastym itp.
Tradycyjny wzór na prędkość – droga przez czas.
v
=
S
t
, więc jeżeli S = 5 * t, to:
t
=
5∗
t
t
=5
tam metrów na sekundę powiedzmy.
Autor: vbx WIMiI Informatyka 2008
v
=
S
[ Pobierz całość w formacie PDF ]