wyklad, !Archiwalne, I Rok, Semestr I, Algebra z geometriÄ… analitycznÄ…
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Algebra liniowa z geometria
,
dla informatykow
Barbara Roszkowska-Lech
Pazdziernik 2009
Po co komu, pytalo pachole,
Kola, elipsy, styczne, parabole?
Ze sa
,
potrzebne, musisz teraz wierzyc...
Przekonasz sie
,
wkrotce, gdy swiat zaczniesz mierzyc!
Adam Mickiewicz
1 Uklady rownan liniowych.
Rozwiazywanie ukladow rownan
W bardzo wielu zastosowaniach algebry podstawowa
,
role odgrywaja uklady
rownan liniowych. Rozpoczniemy nasz kurs algebry liniowej od przedstaw-
ienia metod rozwiazywania takich ukladow rownan. Na pocza
,
tku ograniczymy
sie
,
do ukladow o wspolczynnikach w zbiorzeRwszystkich liczb rzeczywistych.
Pozniej przekonamy sie
,
, ze zaprezentowane tu metody mozna stosowac w
przypadku ogolniejszym.
Denicja 1.1. Uklademmrownan liniowych o wspolczynnikach rzeczywistych
i niewiadomymix
1
;
;:::;x
n
nazywamy uklad rownan postaci
a
11
x
1
+a
12
x
2
+ +a
1
n
x
n
=b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+ +a
2
n
x
n
=b
2
.
a
m
1
x
1
+a
m
2
x
2
+ +a
mn
x
n
=b
m
gdzie wspolczynnikia
ij
orazb
i
dla 1 im;1 jnsa
,
liczbami rzeczy-
wistymi.
1
konspekt wykladu 2009/2010
U:
Algebra liniowa z geometria- konspekt wykladu 2009/10
2
UkladUnazywamy jednorodnym , jeslib
1
=b
2
= b
m
= 0. Rozwia
,
zaniem
ukladuUnazywamy dowolny cia
,
g liczb rzeczywistychs
1
;s
2
;;s
n
, ktore po
podstawieniu za zmiennex
1
;
;:::;x
n
spelniaja
,
wszystkie rownania ukladuU,
to znaczy
8
1
i
m
a
i
1
s
1
+ +a
in
s
n
=b
i
:
Uklad ktory nie ma rozwia
,
zan nazywamy sprzecznym. Mowimy, ze uklad jest
niesprzeczny, jesli zbior jego rozwiazan jest niepusty.
Dwa uklady rownan nazywamy rownowaznymi, jesli posiadaja takie same
zbiory rozwia
,
zan.
Lemat 1.2. Nastepuja
,
ce operacje przeprowadzaja
,
ukladUna uklad rownowazny:
1. Dodanie do rownania innego pomnozonego przez liczbe
,
.
2. Zamiana dwoch rownan miejscami.
3. Pomnozenie rownania przez liczbe
,
rozna
,
od zera.
Operacje (1),(2),(3) nazywamy operacjami elementarnymi na ukladzieU.
NiechUiU
0
be
,
da
,
rownowaznymi ukladami rownan liniowych onniewiadomych.
Przypuscmy, ze ukladU
0
mozna przepisac w postaci
U
0
:
x
j
1
=c
11
x
1
+:::c
1
n
x
n
+d
1
.
x
j
k
=c
k
1
x
1
+ +c
kn
x
n
+d
k
;
przy czymj
1
<j
2
<<j
k
oraz zmiennex
j
1
;:::;x
j
k
nie wystepuja
,
po
prawej stronie. Inaczej mowia
,
c: po przeniesieniu, ze zmienionym znakiem,
wszystkichc
ij
x
j
na lewa
,
strone
,
U
0
staje sie takim ukladem rownan w ktorym
dla kazdegoj
r
2 fj
1
;:::j
k
g wszystkie wspolczynniki przyx
j
r
sa
,
zerami z
wyja
,
tkiem jedynki wr-tym rownaniu. Mowimy wowczas, ze ukladU
0
zadaje
rozwiazanie ogolne ukladuU. W rozwiazaniu tymx
j
1
;:::;x
j
k
nazywamy
zmiennymi zaleznymi a pozostalex
i
nazywamy zmiennymi niezaleznymi albo
parametrami.
Zauwazmy, ze jesliU
0
jest rozwia
,
zaniem ogolnymU, to kazde rozwiazanie
s
1
;:::;s
n
ukladuUjest wyznaczone jednoznacznie przez podanie wartoscis
j
dlajnie naleza
,
cych do zbioru fj
1
;:::;j
k
g. Wartosci pozostalychs
j
wylicza
sie
,
ze wzorowU
0
. Zatem wzory rozwia
,
zania ogolnego opisuja
,
zbior wszystkich
rozwiazan ukladuUw naste
,
puja
,
cym sensie:
Algebra liniowa z geometria- konspekt wykladu 2009/10
3
Kazde podstawienie cia
,
gunkliczb za parametry i wyliczenie po-
zostalychx
j
daje rozwiazanie.
Roznym ciagom parametrow odpowiadaja
,
rozne rozwiazania.
Kazde rozwiazanie mozna otrzymac w ten sposob.
Opiszemy teraz metody znajdowania rozwiazan ukladow rownan liniowych.
Macierze
Denicja 1.3. Macierza
,
mn(inaczej macierza
,
omwierszach inkolum-
nach ) o wyrazach ze zbioruXnazywamy tablice
,
2
a
11
a
12
a
1
n
a
21
a
22
a
2
n
. . . .
a
m
1
a
m
2
a
mn
3
A=
6
6
6
4
7
7
7
5
;
gdziea
ij
2Xdla 1 im;1 jn.
Rze
,
dy poziome macierzyAnazywamy wierszami, rzedy pionowe kolum-
nami. Wyrazya
i
1
;a
i
2
;;a
in
tworza
,
i-ty wiersz, a wyrazya
1
j
;a
2
j
;;a
mj
tworza
,
j-ta
,
kolumne
,
macierzyA. Be
,
dziemy tez pisacA= [a
ij
]. Inaczej
mowia
,
c mozemy o macierzyAmyslec jak o funkcji
A: f1;;mgf1;;ng!X
A: (i;j) 7!A(i;j) =a
ij
:
Elementya
ij
nazywamy wyrazami macierzyA.
Zbior wszystkich macierzymno wyrazach ze zbioruXoznaczamyM
n
m
(X).
Ukladowi rownan
U:
a
11
x
1
+a
12
x
2
+ +a
1
n
x
n
=b
1
a
21
x
1
+a
22
x
2
+ +a
2
n
x
n
=b
2
.
a
m
1
x
1
+a
m
2
x
2
+ +a
mn
x
n
=b
m
Algebra liniowa z geometria- konspekt wykladu 2009/10
4
mozemy przyporza
,
dkowacm (n+ 1) macierz
2
a
11
a
1
n
b
1
. . . .
a
m
1
a
mn
b
m
3
6
4
7
5
:
Nazywamy ja
,
macierza
,
(albo macierza
,
rozszerzona
,
) ukladuU. Macierz
2
a
11
a
1
n
. . .
a
m
1
a
mn
3
6
4
7
5
;
be
,
dziemy nazywac macierza
,
wspolczynnikow ukladuU.
Denicja 1.4. NiechA2M
n
m
(R). Operacjami elementarnymi na wierszach
macierzyAnazywamy
1. Dodanie do wiersza innego wiersza pomnozonego przez liczbe
,
.
2. Zamiana dwoch wierszy miejscami
3. Pomnozenie wiersza przez liczbe
,
rozna od zera.
Analogicznie deniuje sie
,
operacje elementarne na kolumnach macierzy
A. Bedziemy uzywali nastepuja
,
cych oznaczen:
A
!
r
i
$r
j
A
0
;
jesli macierzA
0
powstala z macierzyAprzez zamiane kolejnosci wiersza
i-tego z j-tym
A
!
A
!
ar
i
A
0
;
jesli macierzA
0
powstala z macierzyAprzez pomnorzenie i-tego wiersza
przez liczbea.
r
i
+ar
j
A
0
;
jesli macierzA
0
otrzymana zostala z macierzyAprzez dodanie do i-tego
wiersza wiersza j-tego pomnozonego przeza.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]