wyklad 4, PK, Wytrzymałość materiałów, wykład
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
1
1. WEKTOR PRZEMIESZCZENIA
P
x
3
u
r
r
'
P
'
x
2
stan po deformacji
x
1
stan przed deformacją
położenie pkt. P przed deformacją
Pr P x x x
()
=
12 3
(
, ,
)
położenie pkt. P po deformacji
Pr P x x x
′ ′ = ′ ′ ′ ′
()
(
12 3
, ,
)
przemieszczenie punktu P
PP u r r
′ ==′ −
uxx i
uuxxx
i
= ′ −
i
i
=
123
,,
(
)
i
=
i
12 3
wektorowe pole przemieszczeń
uur
=
()
2. ODKSZTAŁCENIA LINIOWE I KĄTOWE
wybieramy 2 włókna : PQ
1
równoległe do osi x
1
i PQ
2
równoległe do x
2
.
P
Q
2
x
2
P '
β
12
Q
2
’
x
1
Q
1
Q
1
’
odkształcenia liniowe (względna zmiana długości włókna PQ
i
)
ε
=
lim
i
P
′
Q
′
−
PQ
1
1
d
x
→
0
PQ
1
ε
ii
=
lim
0
PQ PQ
PQ
′ ′
−
i
i
nie ma sumowania po "i"
dx
QP
→
→
i
i
i
odkształcenia kątowe
ε
=
lim
1
π
−
1
1
d
x
→
0
2
2
1
d
x
→
0
2
ε
ij
=
lim
1
22
π
−
β
ij
⇒=
2
ε γ
ij
QP
QP
→
→
i
j
, ,
1
ij
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
2
3. RÓWNANIA GEOMETRYCZNE
związki między przemieszczeniami i odkształceniami
założenie
:
pochodne przemieszczeń są wielkościami małymi
x
1
L / 2
x
2
f = L / 250
∂
u
∂
u
2
∂
u
∂
u
2
( )
L
/
250
2
x
=
0
≅
=
0
.
008
⇒
2
<<
2
⇒
2
≅
0
1
∂
x
L
/
2
∂
x
∂
x
∂
x
1
1
1
1
liniowe równania geometryczne - równania Cauchy'ego
ε
ij
=
1
2
( )
uu
i j
,
+
,
ε
11
=
u
1 1
,
ε
2 2
=
u
2 2
,
ε
3 3
=
u
3 3
,
ε
12
=
1
2
(
uu
1 2
,
+
2 1
,
)
⇒ =
γ ε
12
2
12
ε
13
=
1
2
(
uu
1 3
,
+
3 1
,
)
⇒ =
γ ε
13
2
13
ε
23
=
1
2
(
u
2 3
,
+
u
3 2
,
)
⇒ =
γ ε
23
2
23
εεε
εεε
εεε
11
12
13
macierz (tensor) odkształcenia
T
ε
=
12
2 2
2 3
13
2 3
3 3
dla płaskiego stanu odkształcenia w płaszczyźnie (x
1
, x
2
)
T
=
ε
1
ε
1
ε
ε
ε
1
2
2
4. TRANSFORMACJA ODKSZTAŁCEŃ PRZY OBROCIE UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH,
ODKSZTAŁCENIA I KIERUNKI GŁÓWNE
pełna analogia do płaskiego stanu naprężenia
5. KINEMATYCZNE WARUNKI BRZEGOWE
liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego ) - 6 równań różniczkowych cząstkowych
wzg. 3 nieznanych funkcji przemieszczeń
ε
ij
=
1
2
( )
uu
i j
,
+
,
przemieszczenia musza spełniać warunki wynikające ze sposobu podparcia konstrukcji – są
to tzw.
kinematycznych warunków brzegowych
przykłady kinematycznych warunków brzegowych
j i
j i
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
3
x
2
h
=
x
1
h
A
x
2
h
=
x
1
h
B
x
2
h
=
x
1
h
C
A.
( )
1
0
,
=
0
u h
1
( )
0
,
− =
0
B.
( )
1
0
,
=
0
u h
1
( )
0
,
− =
0
u h
2
( )
0
,
− =
0
C.
( )
1
00 0
,
=
u
2
00 0
,
=
∂
∂
u
x
2
( )
00 0
,
=
1
x
2
∂
x
1
x
1
∂
u
2
6.
RÓWNANIA NIEROZDZIELNOŚCI ODKSZTAŁCEŃ
- liniowe równania geometryczne ( rów. Cauchy'ego )
ε
ij
= +
1
2
( )
uu
i j
,
- 6 równań różniczkowych ze wzg. na niewiadome 3 funkcje przemieszczeń
- rozwiązanie istnieje tylko wówczas, gdy między odkształceniami zachodzą związki zwane
równaniami nierozdzielności.
liczba równań niezależnych wynosi 6
, zaś w płaskim stanie naprężenia istnieje tylko
jedno równanie niezależne
ε
11 2 2
,
+ −
ε
2 2 11
,
2
ε
12 12
,
=
0
uh
uh
u
( )
,
ji
TEORIA STANU ODKSZTAŁCENIA
4
interpretacja geometryczna
TAK
Ö
Þ
NIE
7. DEFORMACJA SZEŚCIANU JEDNOSTKOWEGO
Problem
: Określić zmianę objętości sześcianu o jednostkowych krawędziach ("obraz" punktu
materialnego tzn. punktu o przypisanej masie).
A. W układzie współrzędnych określonym przez osie główne tensora odkształcenia
(3)
A
1
1 +
ε
3
(2)
1
1
1 +
ε
1
1 +
ε
2
(1)
przed odkształceniem
po odkształceniu
długości krawędzi sześcianu jednostkowego po odkształceniu
LL
i
−
i
ε
i
=
k
i
=
12 3
,,
L
i
o
L
i
= ⇒ = +
1
L
i
1
ε
i
=
1 2 3
,,
k
i
zmiana objętości sześcianu
∆
VV V
=−=+ + + −=
k
o
( )( )( )
1
ε ε ε
1
2
1
3
1
=+ + + + + + +
1
ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε
≈ ++=
2
3
1 2
1 3
2 3
1 2 3
−
1
ε ε ε ε
2
3
i
1
1
1
RÓWNANIA FIZYCZNE
5
1. RÓWNANIA FIZYCZNE ( KONSTYTUTYWNE )
Zadanie
: Określić związek między odkształceniami i siłami wewnętrznymi, reprezentowanymi
przez naprężenia.
zmienne stanu mechanicznego :czas " t ", temperatura " T " ............
( )
σσ
ij
=
ij
,,
( )
xt T
ε ε
ij
=
ij
xt T
,,
równania Naviera, równania Cauchy 'ego
σ
ij j
,
+=
X
i
0
dla
t t T T
= =
∗
,
∗
ε
ij
=
12
,
( )
uu
i j
+
j i
,
la t t TT
= =
∗
,
∗
równania konstytutywne
ε ε σσσ
ij
=
ij
(
ij
,
&
,
&&
,,
ij
ij
tT
)
2. RÓWNANIA FIZYCZNE DLA IZOTROPOWEGO, JEDNORODNEGO MATERIAŁU
LINIOWO SPRĘŻYSTEGO ( R. HOOKE 'A )
założenia:
1. jawna zależność odkształceń wyłącznie od naprężeń
ε ε σ
ij
=
ij
( )
ij
2. liniowy związek między odkształceniami i naprężeniami
ε
=
S
σ ε
+
o
σ
=
Q
ε σ
+
o
ij
ijkl kl
ij
ij
ijkl kl
ij
ijkl
- macierz podatności (macierz współczynników materiałowych)
Q
ijkl
- macierz sztywności (macierz współczynników materiałowych)
,
σ
o
j
3. sprężystość - po zdjęciu obciążenia znikają odkształcenia :
ε
o
j
=
0
,
σ
o
j
=
0
4. wkażdym punkcie własności materiału są jednakowe w każdym kierunku (materiał
izotropowy
i jednorodny
)
σ
ij
=
2
G
ε λ ε δ
ij
+
kk ij
G,
λ
-
stałe Lame 'go
(
σ
11
=
2
G
ε λ ε ε ε
11
+
11
+ +
2 2
3 3
)
σ
22
=
2
G
ε λ ε ε ε
22
+
(
11
+ +
22
33
)
σ
33
=
2
G
ε λ ε ε ε
33
+ + +
(
11
22
33
)
σ
12
=
G
2
ε
12
σ
13
=
G
2
ε
13
σ
23
=
G
2
ε
23
z
odwrotna postać prawa Hooke'a
ε
ij
= +
1
[
( )
1
ν σ ν σ δ
ij
−
kk ij
]
E
E ( moduł Young'a , moduł sprężystości),
ν
( współczynnik Poisson'a )
o
j
ε
- macierze stałych
i
i
i
i
[ Pobierz całość w formacie PDF ]