wyklad 3, PK, Wytrzymałość materiałów, wykład
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
GEOMETRIA PRZEKROJU
1
1. CHARAKTERYSTYKI GEOMETRYCZNE FIGUR PŁASKICH
Oznaczenia:
(y, z) - dowolny układ współrzędnych
(y
c
, z
c
) - centralny układ współrzędnych, "równoległy" do układu (y, z)
A - pole powierzchni figury
C - środek ciężkości figury
y
s
, z
s
- współrzędne środka ciężkości figury C w dowolnym ukł. współrzędnych (y, z)
z
z
c
y
s
dA
C
y
c
ρ
A
z
s
O
y
1.1. Momenty statyczne
S
y
=
∫∫
z dA
S
z
=
∫∫
y dA
A
A
1.2. Położenie środka ciężkości C
zSA
s
=
y
ySA
s
=
z
1.3. Momenty bezwładności, moment dewiacji
I
y
=
∫∫
z d A
2
( )
>
0
I
z
=
∫∫
y d A
2
( )
>
0
A
A
I
o
=
∫∫
ρ
2
d A
=
∫∫
( )
y
2
+
z d A I I
2
= + >
z
y
( )
0
A
A
I
yz
=
∫∫
(
y z d A
<=>
0
)
A
1.4. Promienie bezwładności
i
y
=
I A
y
i
z
=
I A
z
2. Translacja układu współrzędnych - twierdzenie Steinera
z
z
c
y
s
z '
C
y
c
y '
A
z
s
O
α
y
I I
=+
2
y
Az
s
I
z
=+
2
I
z
Ay
s
I
yz
= +
I
y z
cc
y z
s s
y
GEOMETRIA PRZEKROJU
2
3. Transformacja momentów bezwładności przy obrocie układu współrzędnych
x
2
’
(z
’
)
x
2
(z)
x
1
’
(y
’
)
α
x
1
(y)
x
'
1
=
x
1
cos
α
+
x
2
sin
α
x
'
2
=
−
x
1
sin
α
+
x
2
cos
α
x
'
1
=
cos
α
sin
α
x
1
x
x
'
2
−
sin
α
cos
α
2
x
α
'
i
=
ik
x
k
I
'
y
=
∫∫
z
′
2
dA
=
cos
2
α
∫∫
z
2
dA
+
sin
2
α
∫∫
y
2
dA
−
2
sin
α
cos
α
∫∫
y
z
dA
A
A
A
A
I
'
z
=
∫∫
y
′
2
dA
=
cos
2
α
∫∫
y
2
dA
+
sin
2
α
∫∫
z
2
dA
+
2
sin
α
cos
α
∫∫
y
z
dA
A
A
A
A
I
'
yz
=
∫∫
y
′
z
′
dA
=
∫∫
(
y
cos
α
+
z
sin
α
)(
−
y
sin
α
+
z
cos
α
)
=
dA
A
A
=
sin
α
cos
α
( )
(
I
y
−
I
z
+
cos
2
α
−
sin
2
α
)
yz
I
I
'
y
=
I
y
cos
2
α
+
I
z
sin
2
α
−
I
yz
sin
2
α
I
'
z
=
I
y
sin
2
α
+
I
z
cos
2
α
+
I
yz
sin
2
α
I
=
I I
y
+
z
+
I I
y
−
z
cos
2
α
−
I
sin
2
α
y
'
yz
2
2
I
=
I I
y
+
z
−
I I
y
−
z
cos
2
α
+
I
sin
2
α
z
'
yz
2
2
I
=
I I
y
−
z
sin
2
α
+
I
cos
2
α
yz
''
yz
2
4. Główne osie i momenty bezwładności
Poszukiwany jest taki kąt, przy którym moment bezwładności I
y
’
jest maksymalny
- war. konieczny istnienia ekstremum
d
I
'
y
=
−
2
cos
α
sin
α
I
+
2
sin
α
cos
α
I
−
2
cos
2
α
I
d
α
y
z
yz
=
−
( )
I
y
−
I
z
sin
2
α
−
2
I
yz
cos
2
α
=
−
2
I
y
′
z
′
=
0
I
,
=
I I
y
+
z
±
1
2
( )
I I
− +
2
4
I
2
12
y
z
yz
2
GEOMETRIA PRZEKROJU
3
tan
,
α
12
=
I
I I
yz
−
z
12
,
2
z
z
2
1
α
1
> 0
y
y
α
1
< 0
1
5. Algorytm wyznaczania położenia głównych, centralnych osi bezwładności i
obliczania głównych, centralnych momentów bezwładności
1
Przyjąć dowolny układ współrzędnych (x, y)
"wygodny" do obliczeń
2
Wyznaczyć położenie środka ciężkości
C ( y , z )
s
s
Obliczyć centralne momenty bezwładności
( twierdzenie Steinera )
I
y
c
=I
y
- A z
2
s
- A y
2
I
z
c
=I
z
s
3
I
z
y
c
c
=I
yz
- A y z
s
s
4
Obliczyć główne centralne
momenty bezwładności
5
Wyznaczyć połóżenie głównych centralnych
osi bezwładności
GEOMETRIA PRZEKROJU
4
6. Charakterystyki wybranych przekrojów
z '
z
I
I
a
4
==
y
z
12
y
a
I
==
I
a
4
;
I
=
a
4
y
'
z
'
y z
' '
3
4
a
y '
z '
z
bh
3
hb
3
I
=
;
I
=
y
z
12
12
h
y
bh
3
hb
3
bh
I
=
;
I
=
;
I
=
y
'
z
'
y z
' '
3
3
4
b
y '
z '
z
bh
3
hb
3
bh
I
=
;
I
=
;
I
= −
y
z
y z
36
36
72
h
bh
3
hb
3
bh
y
I
=
;
I
=
;
I
=
y
'
z
'
y z
' '
12
12
24
b
y '
z
==
π
R
4
I
I
y
4
R
y
z
4 R
3
π
R
y
I
=
011
.
R
4
;
I
=
π
R
4
y
z
8
z
I
==
=−
I
0055
00165
.
R
4
y
z
R
y
I
yz
.
R
4
a
4 R
3
π
a =
a
2 2
2 2
2 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]