zadania, Polibuda, Archiwum, Fizyka, materialy dodatkowe
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Równanie Schrödingera
Zadanie 1.
Oblicz energie jednego fotonu promieniowania podczerwonego, dla którego dugosc fali wynosi 1064 nm.
Zadanie 2.
Oblicz dugosc fali de Broglie'a dla elektronu poruszaj acego sie z predkosci a równ a 1/137 predkosci
swiata.
Zadanie 3.
Pewien ukad jednocz astkowy jednowymiarowy jest opisywany funkcj a
Y
=
ae
ibt
e
bmx
2
=
h
;
(1)
gdzie
a
i
b
s a staymi, a
m
jest mas a cz astki. Znajdz funkcje energii potencjalnej
V
dla tego ukadu.
Wskazówka:
Skorzystaj z równania Schrödingera zaleznego od czasu.
Zadanie 4.
Pewien ukad jednocz astkowy jednowymiarowy ma energie potencjaln a
V
=
2
c
2
h
2
x
2
=
m
(2)
i znajduje sie w stanie stacjonarnym opisywanym funkcj a falow a y
=
bxe
cx
2
, gdzie
b
jest sta a,
c
=2.00
nm
2
i
m
=1.00x10
27
g. Znajdz energie cz astki.
Zadanie 5.
Zapisz postac znormalizowanej funkcji falowej, gdy wiadomo, ze
R
y
y
dv
=
2.
Zadanie 6.
(a) Oblicz komutatory:
(i)
[
x
;
p
x
]
,
(ii)
[
p
y
;
x
]
,
(iii)
[
M
x
;
M
y
]
,
(iv)
[
M
2
;
M
z
]
.
(b) Czy funkcja
f
(
x
)
jest funkcj a wasn a operatora
A
gdy:
(i)
f
(
x
) =
ae
ax
,
A
=
p
x
;
(ii)
f
(
x
) =
e
ax
,
A
= [
x
;
dx
]
;
(iii)
f
(
x
) =
xe
ax
,
A
=
M
x
.
Zadanie 7.
Która z nastepuj acych funkcji spenia wszystkie warunki nakadane na funkcje gestosci prawdopodobie nstwa
(
a
i
b
s a dodatnimi staymi): (a)
e
iax
; (b)
xe
bx
2
; (c)
e
bx
2
.
Zadanie 8.
Niech
A
i
B
bed a operatorami hermitowskimi, a
c
bedzie sta a rzeczywist a.
(a) Pokaz, ze
c A
jest hermitowski.
(b) Pokaz, ze
A
+
B
jest hermitowski.
Zadanie 9.
(a) Pokaz, ze
d
2
dx
2
i
T
x
s a operatorami hermitowskimi (
T
x
=
h
2
2
m
d
2
dx
2
).
(b) Pokaz, ze
h
T
x
i =
h
2
2
m
R
¶Y
¶
x
2
dv
.
Zadanie 10.
Które z nastepuj acych operatorów s a hermitowskie: (a)
dx
; (b)
i
dx
; (c) 4
d
2
dx
2
; (d)
i
d
2
dx
2
?
Zadanie 11.
Pokaz, ze
L
z
is hermitowski wykorzystuj ac (a) wspórzedne sferyczne, (b) wspórzedne kartezja nskie.
Zadanie 12.
(a) Jesli
A
i
B
s a operatorami hermitowskimi, pokaz, ze ich iloczyn
A B
jest hermitowski wtedy i tylko
wtedy, gdy te operatory komutuj a.
(b) Jesli
A
i
B
s a operatorami hermitowskimi, pokaz, ze
2
(
A B
+
B A
)
jest hermitowski.
(c) Czy
x p
x
jest hermitowski?
(d) Czy
2
(
x p
x
+
p
x
x
)
jest operatorem hermitowskim?
Zadanie 13.
Zdecyduj, które z ponizszych operatorów s a liniowe, a które nieliniowe: (a) 3
x
2
d
2
dx
2
; (b)
(:::)
2
; (c)
R
:::
dx
;
(d) exp; (e)
Ã¥
x
=
1
.
Zadanie 14.
Policz komutatory:
(a)
sin
(
z
);
dz
;
h
d
2
i
, gdzie
a
,
b
i
c
s a staymi;
(b)
dx
2
;
ax
2
+
bx
+
c
h
i
.
dx
;
d
2
(c)
d
dx
2
Zadanie 15.
Operator
transformaty Laplace'a
jest zdeniowany jako:
Z
Â¥
L f
(
x
) =
e
px
f
(
x
)
dx
:
(3)
0
Czy
L
jest operatorem liniowym?
dx
2
: (a)
e
x
; (b)
x
2
; (c) sin
(
x
)
; (d)
3 cos
(
x
)
; (e) sin
(
x
) +
cos
(
x
)
. Podaj wartosci wasne dla kazdej funkcji wasnej.
d
2
Zadanie 17.
Podaj kwantowomechaniczne operatory odpowiadaj ace nastepuj acym wielkosciom zycznym: (a)
p
y
; (b)
xp
y
yp
x
; (c)
(
xp
y
yp
x
)
2
.
d
1
Zadanie 16.
Zdecyduj, które z nastepuj acych funkcji s a funkcjami wasnymi operatora
Zadanie 18.
Oblicz komutatory: (a)
[
x
;
p
x
]
; (b)
x
;
p
x
; (c)
[
x
;
p
y
]
; (d)
[
x
;
V
(
x
;
y
;
z
)]
; (e)
xyz
;
p
x
. (f)
[
x
;
H
]
, gdzie hamil-
tonian jest dany jako:
H
=
h
2
2
m
¶
2
¶
x
2
+
¶
2
¶
y
2
+
¶
2
¶
z
2
+
V
(
x
;
y
;
z
):
(4)
Zadanie 19.
Prawda czy fasz? Wyjasnij.
(a) Gestosc prawdopodobie nstwa nigdy nie moze byc ujemna.
(b) Funkcja stanu Y nigdy nie moze byc ujemna.
(c) Funkcja stanu Y musi byc funkcj a rzeczywist a.
(d) Jesli
z
=
z
, wtedy
z
musi byc liczb a rzeczywist a.
Â¥
Â¥
Y
dx
=
1 dla ukadu jednocz astkowego jednowymiarowego.
(f) Iloczyn liczby i jej sprzezonej zespolonej jest zawsze rzeczywisty.
R
(g) Zero nie jest nigdy dozwolon a wartosci a wasn a.
(h) Funkcja
f
=
0 nigdy nie moze byc funkcj a wasn a.
(i) Symbol
e
oznacza adunek elektronu.
(j) Funkcja falowa ukadu jest funkcj a wspórzednych i czasu.
(k) Gestosc prawdopodobie nstwa znalezienia cz astki w chwili czasu
t
w elemencie objetosci
dv
jest
zdeniowana jako: Y
Y
dv
.
(l) Zarówno w mechanice klasycznej jak i kwantowej znajomosc obecnego stanu izolowanego ukadu
pozwala na obliczenie stanu przyszego.
() Wielkosci mechaniczne opisuj ace cz astke s a zawsze reprezentowane przez operatory liniowe dziaa-
j ace w przestrzeni funkcji falowych.
(m) Dla stanu stacjonarnego gestosc prawdopodobie nstwa jest niezalezna od czasu.
(n) Jesli dwa operatory hermitowskie komutuj a, kazda wartosc wasna jednego z nich musi byc równoczesnie
wartosci a wasn a drugiego operatora.
(o) Jesli dwie funkcje wasne operatora hermitowskiego odpowiadaj a tej samej wartosci wasnej, to
musz a byc ortogonalne.
(p) Znormalizowana funkcja falowa Y jest bezwymiarowa.
(q) Wszystkie funkcje wasne operatora hermitowskiego musz a by c rzeczywiste.
(r) Wielkosci
h
f
m
j
A
j
f
n
i
i
h
f
m
j
f
n
i
s a liczbami.
(s) Jesli Y jest funkcj a wasn a operatora
B
odpowiadaj ac a wartosci wasnej
b
k
, to mierz ac wasnosc
B
na pewno otrzymamy w wyniku
b
k
.
(t) Jesli
g
jest funkcj a wasn a operatora liniowego
B
to
cg
jest równiez funkcj a wasn a
B
(
c
jest dowoln a
sta a).
(e)
(u) Jesli
f
1
i
f
2
s a funkcjami wasnymi
B
odpowiadaj acymi tej samej wartosci wasnej
b
, wówczas
c
1
f
1
+
c
2
f
2
(
c
1
,
c
2
stae) musi byc równiez funkcj a wasn a
B
odpowiadaj ac a wartosci wasnej
b
.
(v) 5
x
jest wartosci a wasn a operatora
x
.
(w) 5
x
jest funkcj a wasn a operatora
x
.
(x) Funkcja falowa ukadu Y jest funkcj a wasn a operatora Hamiltona.
(y) Dla stanu stacjonarnego Y jest równa iloczynowi pewnej funkcji czasu i pewnej funkcji wspórzed-
nych cz astek.
(z) W równaniu
h
B
i =
R
Y
B
Y
dv
caka jest cak a nieoznaczon a.
(z)
h
B
i =
R
B
j
Y
j
2
dv
.
Odpowiedzi
1. 1.686x10
19
J. 2. 3.32 Ã…. 3. 2
mb
2
x
2
. 4. 3
ch
2
=
m
=6.67x10
20
J. Wykorzystaj niezalezne od czasu równanie
Schrödingera. 6. (a)
ih
; 0;
ih
; 0; (b) tak:
iha
; tak:
1; tak: 0. 7. zadna. 10. (b) i (c). 13. (a) P; (b) F; (c) F;
(d) P; (e) F; (f) P; (g) F; (h) P; (i) F; (j) P; (k) F; (l) P; () P; (m) P; (n) F; (o) F; (p) F; (q) F; (r) F; (s) P; (t)
P; (u) P; (v) F; (w) F; (x) P; (y) P; (z) F; (z) F.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]