zad02, OPTYKA FALOWA
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wst¦pdooptykifalowej
JacekGill
23kwietnia2008
Pytanie 2:
Funkcje ortogonalne i otronormalne. Twierdzenie Parsevala - dowód.
Odpowiedz :
Z własno±ci funkcji ortonormalnych i otrogonalnych:
je»eli funkcja
f
2
R
n
(funkcja n-zmiennych) jest otrogonalna to :
f
f
= 0
je»eli funkcja
f
2
R
n
(funkcja n-zmiennych) jest otronormalna to :
f
f
= 1
Twierdzenie0.1(Parsevala)
NiechfunkcjeF,Gstanowi¡par¦fourierowsk¡,
gdzieF-oryginał,G-transformat¡,wtedy:
Z
1
−1
|
G
(
t
)
|
2
dt
=
Z
1
−1
|
F
(
)
|
2
d
Dowód - wprost. Niech funkcj¦
f
(
t
) da si¦ zapisa¢ jako kombinacj¦ liniow¡
funkcji ortonormalnych :
F
(
t
) =
1
X
c
i
i
i
=
−1
podnosz¡c obie strony powy»szego równania otrzymujemy :
F
(
t
)
2
=
1
X
c
2
i
2
i
i
=
−1
1
po nało»eniu operatora całkowania
R
−1
dt
:
prawa strona (korzystaj¡c z własno±ci funkcji ortonormalnych ) :
P
=
1
X
c
2
i
=
||
c
||
i
=
−1
równa jest normie wektora c.
Lewa strona jest równa (całk¦ przybli»amy sum¡ ) i jak wy»ej korzystaj¡c
z własno±ci funkcji ortonormalnych :
L
=
1
X
c
2
i
2
i
=
1
X
c
2
i
=
||
c
||
i
=
−1
i
−1
L
=
P
co ko«czy dowód.
Literatura
[1] Notatki do wykładu Wst¦p do optyki falowej
Spistre±ci
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
