wzorcowe sprawko, Politechnika Wrocławska - Materiały, niezadownosc i diagn ukl cyfrowych
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wrocław, 20 grudnia 2006
Imię i nazwisko:
Nr indeksu:
MARCIN ROSZKOWSKI
133347
PIOTR TWARÓG
133395
MARCIN śAK
133430
Grupa: CZ 13.15-15.00
Projekt z przedmiotu „Niezawodno
ść
i diagnostyka
systemów cyfrowych 2”
„System obsługi kas sklepowych”
Prowadzący:
DR INś. JACEK JARNICKI
Spis Tre
ś
ci
ZałoŜenia Projektowe ................................................................................................................. 3
Strumień zgłoszeń .................................................................................................................. 4
Czas obsługi ........................................................................................................................... 5
Strumień pracy pojedynczej kasy........................................................................................... 5
Symulacja ................................................................................................................................... 6
Dane wejściowe...................................................................................................................... 7
Dane wyjściowe ................................................................................................................... 10
Opis działania symulatora .................................................................................................... 12
Konwersja wyników symulacji do formatu programu SAS..................................................... 19
Skrypty programu SAS ............................................................................................................ 19
Skrypt numer 1 ..................................................................................................................... 20
Skrypt numer 2 ..................................................................................................................... 22
Skrypt numer 3 ..................................................................................................................... 25
Skrypt numer 4 ..................................................................................................................... 26
Analiza wyników symulacji ..................................................................................................... 26
System z ustaloną liczbą kas ................................................................................................ 27
System ze zmniejszoną liczbą kas........................................................................................ 30
System ze zmniejszoną liczbą kas w jednym okresie doby ................................................. 32
System ze zwiększoną liczbą kas ......................................................................................... 33
Wpływ uszkodzenia kas na liczbę klientów nieobsłuŜonych............................................... 35
Badanie czasu obsługi w zaleŜności od liczby kas............................................................... 37
Dopasowanie histogramów do wykresów zmiennych losowych ......................................... 39
Badanie współczynnika niezadowolenia klientów, w zaleŜności od liczby kas .................. 40
Wnioski i uwagi końcowe ........................................................................................................ 42
Bibliografia............................................................................................................................... 45
2
Zało
Ŝ
enia Projektowe
Problem kolejkowania jest na tyle powszechny w systemach produkcyjnych i usługowych,
Ŝe juŜ w pierwszej połowie ubiegłego wieku została opracowana teoria obsługi masowej,
zwana równieŜ teorią kolejek. Teoria zajmuje się budową modeli matematycznych, które
moŜna wykorzystać w zarządzaniu dowolnymi systemami działania, nazywanymi systemami
masowej obsługi. Przykładami takich systemów są: sklepy, porty lotnicze, podsystemy
uŜytkowania samochodów, przedsiębiorstwa transportowe, podsystemy obsługiwania
obrabiarek itp. Modele matematyczne teorii kolejek pozwalają na analityczne wyznaczenie
charakterystyk systemu, takich jak:
-
procent czasu zajętości wszystkich stanowisk obsługi,
-
prawdopodobieństwo, Ŝe system nie jest pusty,
-
średnia liczba klientów czekających,
-
średnia liczba klientów czekających i obsługiwanych,
-
średni czas czekania,
-
średni czas czekania i obsługi,
-
prawdopodobieństwo, Ŝe przybywający klient czeka,
-
prawdopodobieństwo, Ŝe n klientów jest w systemie.
W projekcie zostaną zaprezentowane symulacyjne metody wyznaczania charakterystyk
systemu. Rozpatrywany będzie system kas w supermarkecie z wieloma stanowiskami obsługi
i wieloma kolejkami, po jednej do kaŜdego stanowiska. Dodatkowo uwzględnione zostaną
parametry niezawodnościowe całego systemu – praca kaŜdego stanowiska obsługi będzie
strumieniem uszkodzeń i odnów. Celem modelu symulacyjnego będzie określenie
zachowania systemu oraz oszacowanie takiego poziomu usługi, który zapewnia minimalizację
kosztu całkowitego, który stanowi sumę dwóch składników:
-
kosztu obsługi (utrzymania odpowiedniej liczby stanowisk obsługi),
-
kosztu niezadowolenia klienta (czyli np. strat powstałych w wyniku przejścia klienta
do konkurencyjnego sklepu z powodu zbyt długich kolejek w analizowanym).
PoniewaŜ wyznaczenie optymalnego poziomu wymagałoby złoŜonych załoŜeń
ekonomicznych, poszukiwana będzie jedynie minimalna ilość stanowisk obsługi, przy których
prawdopodobieństwo spędzenia przez klienta w kolejce czasu T będzie mniejsze niŜ P[%].
Rozpatrywany będzie model systemu z wieloma stanowiskami obsługi i wieloma
kolejkami, o jednej do kaŜdego stanowiska, jak przedstawiono na rysunku poniŜej. Napływ
klientów będzie reprezentowany przez losowy strumień Poissona, a przydział do jednej
z kolejek realizowany będzie za pomocą deterministycznego algorytmu. Czas obsługi
pojedynczego klienta równieŜ zostanie zdefiniowany za pomocą odpowiedniego rozkładu
losowego, zgodnego z postulatami teorii masowej obsługi. ObsłuŜeni klienci będą generowali
strumień wyjściowy.
3
W systemie łącznie znajduje się N kas o numerach porządkowych 1, 2, ..., N, przy
czym w kaŜdej chwili t jest czynnych jest X stanowisk.
Strumie
ń
zgłosze
ń
Poprzez zgłoszenie do systemu rozumiana jest chęć skasowania zakupionych przez
klienta produktów. Proces napływu klientów będzie strumieniem Poissona, w którym
prawdopodobieństwo, Ŝe w czasie t przybędzie n klientów, jest równe:
n
t
t
a
( )
P
t
=
×
exp
-
n
n
!
a
Czas pomiędzy nadejściem dwóch kolejnych zgłoszeń w strumieniu Poissona opisany jest
rozkładem wykładniczym. Funkcja gęstości tego rozkładu dana jest wzorem:
1
t
( )
f
t
=
×
exp
-
a
a
gdzie parametr α ma takie samo znaczenie, jak w poprzednim wzorze, i stanowi średni czas
pomiędzy dwoma kolejnymi zgłoszeniami.
Zastosowanie rozkładu wykładniczego dla generacji strumienia wejściowego jest
praktyczne, poniewaŜ posiada on właściwość braku pamięci. Oznacza to, Ŝe
prawdopodobieństwo pojawienia się następnego klienta w ciągu najbliŜszej minuty jest takie
samo niezaleŜnie od tego, czy poprzedni klient nadszedł 5 sekund, czy godzinę temu.
Parametr α będzie dynamicznie zmieniany w czasie trwania symulacji w cyklu dobowym, co
ma odwzorować zmienną częstość nadchodzenia klientów o róŜnych porach dnia. Zmiany
będą miały charakter skokowy co ustalony kwant czasu (godzinę), w czasie trwania którego
α. będzie pozostawał na stałym poziomie.
Zgłoszenia do kas będą przydzielane w oparciu o prosty i w pełni deterministyczny
algorytm. W momencie nadejścia zgłoszenia hipotetyczny klient będzie wybierał kasę, do
której kolejka jest najkrótsza, i będzie przydzielany do tej kolejki. Przy poszukiwaniu
stanowiska z najkrótszą kolejką uwzględniane będą tylko kasy czynne o numerach od 1 do X.
4
W szczególności, jeśli chociaŜ jedna z kas jest bezczynna, klient zostanie obsłuŜony
natychmiast.
Czas obsługi
Teoria kolejek proponuje kilka moŜliwych rozkładów czasu obsługi, przy czym
większość z modeli uwzględnia równieŜ rozkład dowolny. Najczęściej wykorzystywanym
rozkładem jest rozkład Erlanga, którego funkcja gęstości dana jest wzorem:
1
t
( )
k
-
1
f
t
=
×
t
exp
-
k
b
×
(
k
-
1
)!
b
Parametr k jest nazywany parametrem kształtu i pozwala manipulować kształtem
rozkładu, w szczególności dla k = 1 rozkład Erlanga jest rozkładem wykładniczym,
a w granicy dla
k
rozkład staje się rozkładem jednostajnym na przedziale (0,
¥
).
Parametr β stanowi współczynnik skali. Na ogół jako współczynnik skali uŜywany jest
parametr α= 1 / β, ale program Matlab, który będzie wykorzystywany na potrzeby symulacji,
uŜywa parametrów rozkładu w takiej właśnie postaci.
®
¥
W teorii kolejek modele Erlanga to modele stochastyczne stosowane do analizy ruchu
w systemach kolejkowych, zaproponowane przez duńskiego matematyka Agnera Krarupa
Erlanga. Najczęściej są wykorzystywane w analizie ruchu w sieciach telekomunikacyjnych,
choć równie dobrze mogą słuŜyć do analizy obsługi klientów w supermarkecie lub na stacji
benzynowej. Modele te pozwalają oszacować prawdopodobieństwo blokady (sytuacji gdy
klient nie moŜe być obsłuŜony) przy danych parametrach modelu. Wiedza ta moŜe posłuŜyć
do doboru parametrów w sposób, który pozwoli osiągnąć wymaganą jakość usługi.
Do generowania zmiennych losowych opisanych rozkładem Erlanga uŜywana będzie
funkcja gamrnd (...), poniewaŜ rozkład gamma stanowi de facto uogólnienie rozkładu
Erlanga.
Czas obsługi jest znany dopiero w momencie rozpoczęcia obsługi klienta.
Strumie
ń
pracy pojedynczej kasy
KaŜda kasa będzie pracować w strumieniu uszkodzeń i odnów. Dodatkowo
przyjmujemy załoŜenie, Ŝe kasa nieczynna (o numerze pomiędzy X+1 a N) nie moŜe ulec
awarii, ale wykonanie naprawy jest moŜliwe w dowolnej chwili. W momencie włączenia kasy
do systemu lub wykonania odnowy losowania będzie czas pracy do pierwszego uszkodzenia.
Do losowania wykorzystany będzie generator liczb spełniających warunki rozkładu Weibulla.
Funkcja gęstości w rozkładzie Weibulla opisana jest wzorem:
( )
(
)
k
u
-
1
k
u
f
t
=
l
×
k
u
×
t
×
exp
-
l
×
t
Parametry λ oraz κu są uŜyte w takiej samej konwencji, w jakiej uŜywa ich program
Matlab, chociaŜ podobnie jak w przypadku rozkładu gamma moŜna uŜyć nieco inaczej
wyraŜonych współczynników. Parametr κu jest nazywany współczynnikiem kształtu, a λ to
współczynnik skali.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]