wyklad 4, Politechnika Poznańska, Mechatronika, Semestr 03, Wytrzymałość materiałów - wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
4. CZYSTE ZGINANIE
1
4.

4. Czyste zginanie
4.1 Podstawowe definicje
Momentem
M
siły
P
względem punktu O nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego
r
oraz
wektora siły
P
.

M
=
r
×

P
.
(4.1)
Wektor
r
jest promieniem wodzącym dowolnego punktu linii działania siły (prostej, na której leży wektor siły)
o poczÄ…tku w punkcie O. Przedstawia to rysunek 4.1.
Z
Y
M
a
P
r
0
r
O
X
Rys. 4.1. Moment statyczny siły względem punktu.
Wartość bezwzględna momentu siły wynosi
M
=
P
â‹…
rsin
î‚žî‚·î‚Ÿ
,
(4.2)
gdzie a jest kątem zawartym między wektorami
r
i
P
, a r
0
– rzutem wektora
r
na prostą prostopadłą do
wektora
P
, czyli
ramieniem siły
. Wektor
M
jest prostopadły do płaszczyzny, na której leżą wektory
r
i
P
, a
jego zwrot określa
reguła śruby prawoskrętnej
. Reguła ta mówi, że przy obrocie wektora
r
zgodnie z
obrotem śruby prawoskrętnej o kąt a mniejszy od 180
0
do pokrycia siÄ™ z wektorem
P
, śruba postępuje w
kierunku wektora
M
. Na rysunku 4.2 obrót wektora
r
w kierunku wektora
P
został przedstawiony za pomocą
strzałki. Moment siły względem punktu nazywamy
momentem statycznym
. Zależy on od położenia punktu
O, względem którego moment ten obliczamy, nie zależy natomiast od przesunięcia siły wzdłuż jej linii
działania. Moment
M
układu sił dowolnie rozmieszczonych na płaszczyźnie względem dowolnego punktu O
jest równy sumie momentów poszczególnych sił względem tego punktu.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak,
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
AlmaMater
4. CZYSTE ZGINANIE
2
Z
Y
M
P
a
r
O
X
Rys. 4.2. Reguła śruby prawoskrętnej.
Jeżeli siła
P
znajdowałyby się w przestrzeni to w takim przypadku oblicza się moment siły względem osi.
Wartość bezwzględna momentu wynosi
M
=
P'
â‹…
r
0
,
(4.3)
w którym
P'
jest rzutem siły
P
na płaszczyznę P prostopadłą do osi natomiast r
0
jest ramieniem siły
P'
.
Przedstawia to rysunek 4.3.
P
P
P'
r
0
Rys. 4.3. Moment statyczny siły względem osi.
Parą sił
nazywamy dwie siły
P
równoległe i równe co do wartości, ale przeciwnie skierowane. Moment pary
sił względem punktu O jest równy sumie momentów poszczególnych sił
P
względem punktu O. Przedstawia to
rysunek 4.4.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak,
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
AlmaMater
4. CZYSTE ZGINANIE
3
O
P
P
Rys.4.4. Para sił.
Jako dodatni został przyjęty moment, który kręci zgodnie ze wskazówkami zegara. Momenty statyczne
poszczególnych sił wynoszą
M
1
=
P
â‹…
x
,
(4.4.)
M
2
=−
P
î‚ž
x

a
î‚Ÿ
.
(4.5)
Momenty statyczne obu sił zostały przedstawione na rysunku 4.5. Zamiast wektora momentu, który były
niewidoczny zastosowano strzałki, które pokazują jak kręciłaby się śruba prawoskrętna. Moment
M
1
jest
dodatni więc wektor jego wkręcałby się w kartkę. Moment
M
2
jest ujemny więc jego wektor wykręcałby się z
kartki. Moment
M
2
jako ujemny został narysowany ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara,
natomiast jako opis wektor została podana wartość bezwzględna tego momentu.
O
P
M
1
=
P
â‹…
x
M
2
=
P
î‚ž
x

a
î‚Ÿ
P
Rys. 4.5. Momenty statyczne poszczególnych sił względem punktu O.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak,
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
AlmaMater
4. CZYSTE ZGINANIE
4
Całkowity moment statyczny wynosi
M
=
P
â‹…
x
−
P
î‚ž
x

a
î‚Ÿ
=−
P
â‹…
a
.
(4.6)
Jak widać wartość bezwzględna momentu pary sił jest równa iloczynowi wartości siły razy odległość sił
między sobą. Jest on niezależny od punktu odniesienia i ma zawsze tą samą wartość. Para sił charakteryzuje
się więc określonym momentem, który nazywa się
momentem obrotowym
. Moment pary sił przedstawionej
na rysunkach 4.4, 4.5 oraz 4.6 jest więc ujemny czyli przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
O
M
=
P
â‹…
a
P
P
Rys. 4.6. Moment obrotowy pary sił.
4.2 Pręt zginany momentem M
Rozpatrzmy prostoliniowy pręt pryzmatyczny o długości L wykonany z materiału jednorodnego i
izotropowego. Pręt jest obciążony momentami obrotowymi
M
na obu swoich końcach. Oba wektory
momentów leżą na płaszczyźnie przekroju pręta. Wektory momentów będą prostopadłe do tak zwanej
płaszczyzny obciążenia
(w tym przypadku płaszczyzną obciążenia jest kartka papieru). Przedstawia to
rysunek 4.7.
M
M
L
Rys. 4.7. Pryzmatyczny pręt obciążony momentami obrotowymi M.
Aby dowolna część pręta była w równowadze w dowolnym przekroju musi się pojawić moment obrotowy
zależny od współrzędnej x M(x) nazywany
momentem zginajÄ…cym
. Równowagę odciętej części pręta
przedstawia rysunek 4.8. Układ XYZ jest globalnym układem związanym z lewym końcem pręta.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak,
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
AlmaMater
4. CZYSTE ZGINANIE
5
M
M(x)
X
Z
x
Rys. 4.8. Równowaga odciętej części pręta.
Jak widać z rysunku 4.8 moment zginający M(x) w dowolnym przekroju pręta równa się zewnętrznemu
momentowi obrotowemu
M
. Na rysunku tym zaznaczono moment zginajÄ…cy M(x) jako dodatni.
Dodatni
moment zginający będzie więc powodował rozciąganie dolnych włókien pręta.
Przedstawia to rysunek 4.9.
M(x)
P
P
Rys. 4.9. Dodatni moment zginajÄ…cy M(x).
Rozważamy teraz czyste zginanie jednorodnego pręta wywołane przez moment zginający M(x). Ograniczymy
się do przekrojów dostatecznie oddalonych od końców pręta a pominiemy ewentualne zaburzenia (zasada de
Saint-Venanta). Pod wpływem momentu zginającego nastąpi wygięcie pręta (w konfiguracji aktualnej czyli
konfiguracji odkształconej) w wyniku czego część włókien jest ściskana, a druga część rozciągana. Włókna
ściskane ulegają skróceniu, a rozciągane wydłużeniu. Granicę obu części pręta stanowi pewna powierzchnia
utworzona z włókien obojętnych, których odkształcenie liniowe wynosi zero –
powierzchnia obojętna
.
Dodatkowym założeniem jest prawo płaskich przekrojów Bernouliego. Mówi ono, że przekrój płaski i
prostopadły do włókien (podłużnej osi) pręta przed odkształceniem, pozostaje nadal płaski i prostopadły do
wygiętych włókien (podłużnej osi) pręta po odkształceniu. Bliższe obserwacje wykazują, ze przekrój pręta w
procesie deformacji obraca siÄ™ o kÄ…ta f. Pokazuje to rysunek 4.10.
Konfiguracja
poczÄ…tkowa
Konfiguracja
aktualna
f
Rys. 4.10. Konfiguracja początkowa i aktualna pręta.
W. Bernat, A. Chorowska, M. Paszczak, T. Terlecki, A. Zielona, H. Qaraqish, D. Woźniak,
M. Tomaszewski, J. J. Skoryna
AlmaMater
Â
[ Pobierz całość w formacie PDF ]