wykład 13 - Równania Różniczkowe, Inżynieria Oprogramowania - Informatyka, Semestr IV, Metody Obliczeniowe, ...
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Równania różniczkowe zwyczajne
1
Zagadnienie początkowe
2
• Klasyfikacja równań i układów równań różniczkowych
• Wybrane metody przybliżone rozwiązywania równań różniczkowych
• Rozwiązywanie zagadnienia początkowego w
Maple’u
1
Równanie różniczkowe, w którym niewiadoma funkcja zależy tylko od
jednego argumentu nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym
2
Z zagadnieniem początkowym
(
zagadnieniem Cauchy’ego
)
mamy do
czynienie wtedy, gdy znana jest wartość niewiadomej funkcji i jej
pochodnych dla jednej
(
początkowej
)
wartości zmiennej niezależnej
Klasyfikacja równań różniczkowych
Podział ze względu na rząd pochodnej funkcji niewiadomej
• równania pierwszego rzędu
• równania wyższych rzędów
Podział ze względu na budowę równania
• równania liniowe
• równania nieliniowe
Przykład
(
n
)
(
n
1
)
p
(
x
)
y
p
(
x
)
y
...
p
(
x
)
y
p
(
x
)
y
f
(
x
)
n
n
1
1
0
Jest to równanie
n
- tego rzędu, liniowe, o zmiennych
współczynnikach, niejednorodne
Równanie różniczkowe nieliniowe
n
-tego rzędu
(
n
)
(
n
2
)
(
n
1
)
y
f
(
x
,
y
,
y
,
...
y
,
y
)
warunki początkowe
y
(
0
)
y
0
y
(
0
)
y
0
y
(
0
)
y
0
(
n
y
1
)
(
n
1
)
y
(
0
)
0
Układ równań różniczkowych
Forma kanoniczna układu równań różniczkowych 1-go rzędu
d
y
1
warunki początkowe
f
(
x
,
y
,
y
,
...
y
)
1
1
2
n
d
x
y
(
0
)
y
1
10
d
y
2
f
(
x
,
y
,
y
,
...
y
)
2
1
2
n
y
(
0
)
y
d
x
2
20
y
n
y
(
0
)
d
y
n
0
n
f
(
x
,
y
,
y
,
...
y
)
n
1
2
n
d
x
Zapis macierzowy
x
fy
,(
y
y
),
y
(
0
)
0
y
f
(
x
,
y
)
y
1
1
10
y
f
(
x
,
y
)
y
2
2
20
y
,
f
,
y
0
y
f
(
x
,
y
)
y
n
n
n
0
Sprowadzanie równania
n
– tego rzędu do
układu
n
równań pierwszego rzędu
(
n
)
(
n
2
)
(
n
1
)
y
f
(
x
,
y
,
y
,
...
y
,
y
)
Wprowadzamy
n
niewiadomych funkcji:
yy
...
,
,
y
,
y
1
2
3
n
y
1
y
y
1
y
2
y
y
y
2
y
2
3
y
y
y
y y k n
,
1..
1
3
4
1
y fxyy
(
,
...
)
1
(
n
1
)
y
y
y
n
1
n
(
n
1)
()
n
y y fxyy
(
,
...
)
n
1
y
y
1
2
y
y
2
3
fy
x
(
y
)
y
f
,
y
y
n
1
n
y
f
(
x
,
y
,
y
...
y
,
y
)
n
1
2
n
1
n
[ Pobierz całość w formacie PDF ]