z routh matlab, AiR
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Akademia Morska w Gdyni
Katedra Automatyki Okrętowej
Teoria sterowania
Stabilność liniowych układów dyskretnych
Mirosław Tomera
z
na płaszczyźnie
z
.
Kryterium Nyquista, linie pierwiastkowe, wykresy Bodego, które wyprowadzone zostały dla układów
ciągłych mogą również zostać rozszerzone do przypadków badania stabilności układów dyskretnych.
Pewnym wyjątkiem jest tutaj kryterium Routha, które w swojej oryginalnej postaci jest ograniczone
tylko do osi liczb urojonych na płaszczyźnie
s
jako granicy stabilności, a więc może być stosowane
tylko do układów ciągłych. W celu zastosowania kryterium Routha dla układów dyskretnych
wymagane jest przekształcenie, które dokona transformacji okręgu jednostkowego z płaszczyzny
z
na
oś liczb urojonych na innej płaszczyźnie zmiennej zespolonej.
1
2. STABILNOŚĆ TYPU BIBO
Zakładając, że
u
(
kT
) jest sygnałem wejściowym,
y
(
kT
) sygnałem wyjściowym oraz
g
(
kT
) jest
dyskretną odpowiedzią impulsową liniowego stacjonarnego układu dyskretnego SISO. Mówi się, że
układ z zerowymi warunkami początkowymi jest stabilny w sensie BIBO, lub po prostu stabilny, jeśli
jego wyjściowy sygnał dyskretny
y
(
kT
) jest ograniczony na ograniczone wejście
u
(
kT
) czyli dla ukłądu
stabilnego w sensie BIBO musi być spełniony warunek
g
( )
kT
(1)
k
0
WEJÅšCIOWA
Dla stabilności zerowo-wejściowej, dyskretny sygnał wyjściowy układu musi spełniać następujace
warunki:
1.
y
(
kT
)
M
(2)
2.
lim
y
(
kT
)
0
(3)
k
Stabilność zerowo-wejściową określa się jako stabilność asymptotyczną. Można wykazać, że zarówno
stabilność BIBO jaki i stabilność zerowo
z
1
na
płaszczyźnie
z
. Nie ma w tym nic dziwnego, gdyż oś
j
z płaszczyzny
s
jest przekształcana na
Ostatnia aktualizacja: 04-11-08
M. Tomera
1. WPROWADZENIE
Definicja stabilności BIBO (Boundary Input Boundary Output) i stabilność zerowo-wejściowa może
zostać łatwo rozszerzona na liniowe stacjonarne układy sterowania dyskretnego. Problem badania
stabilności układów dyskretnych jest w istocie problemem sprawdzania czy wszystkie pierwiastki
równania charakterystycznego znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego
3. STABILNOŚĆ ZEROWO
wejściowa układów dyskretnych wymaga aby pierwiastki
równania charakterystycznego znajdowały się wewnątrz okręgu jednostkowego
Teoria sterowania
Stabilność liniowych układów dyskretnych
płaszczyznę
z
na okrąg jednostkowy. Obszary stabilności i niestabilności układów dyskretnych na
płaszczyźnie z pokazane są na rysunku 1.
jIm z
PÅ‚aszczyzna
z
Niestabilny
Niestabilny
OkrÄ…g
jednostkowy
Stabilny
1
0
1
Re z
Stabilny
Niestabilny
Niestabilny
Rys. 1. Obszary stabilności i niestabilności dla biegunów układu dyskretnego znajdujących się na płaszczyźnie
z
.
Zakładając, że
z
, (
i
= 1, 2, ....,
n
) są pierwiastkami równania charakterystycznego liniowego
stacjonarnego układu dyskretnego SISO, wówczas możliwe warunki stabilności układu zebrane
zostały w tabeli 1.
Tabela 1. Warunki stabilności dyskretnych układów liniowych stacjonarnych.
Warunki stabilności
Wartości pierwiastków
Stabilny asymptotycznie
z
i
dla wszystkich
i
,
i
= 1, 2,...,
n
. (Wszystkie pierwiastki znajdujÄ… siÄ™
wewnątrz okręgu jednostkowego)
1
Na granicy stabilności
z
i
dla pewnych pojedynczych pierwiastków oraz brak jest
pierwiastków dla których
1
z
dla
i
= 1, 2,...,
n
. (Żadnego
pierwiastka wielokrotnego na okręgu jednostkowym i brak
pierwiastków na zewnątrz okręgu jednostkowego)
i
1
Niestabilny
z
i
z
dla pewnych
pierwiastków wielokrotnych.
i
= 1, 2,...,
n
. (Przynajmniej jeden
pojedynczy pierwiastek na zewnątrz okręgu jednostkowego
i przynajmniej jeden pierwiastek wielokrotny na okręgu
jednostkowym.
1
dla pewnych pierwiastków
i,
lub
i
1
Poniższy przykład ilustruje zależności pomiędzy biegunami transmitancji układu zamkniętego, które
są pierwiastkami równania charakterystycznego
Przykład 1
Poniższy przykład ilustruje warunki stabilności układu w odniesieniu do biegunów
transmitancji, które są również pierwiastkami równania charakterystycznego, a warunkami
stabilności układu.
G
(
z
)
20
z
Układ stabilny
z
0
.
4
z
0
.
6
z
0
.
8
Ostatnia aktualizacja: 04-11-08
M. Tomera
2
Teoria sterowania
Stabilność liniowych układów dyskretnych
G
(
z
)
20
( )
z
3
Układ niestabilny z powodu bieguna
z
=
1.5
z
1
5
z
2
1
.
8
z
0
8
G
(
z
)
20
(
z
1
Układ na granicy stabilności z powodu bieguna w
z
1
z
( )
z
1
z
2
0
.
4
G
(
z
)
20
z
( ) (
z
1
2
z
0
5
Układ niestabilny z powodu bieguna wielokrotnego w
1
z
G
(
z
)
5
z
1
.
5
Układ niestabilny z powodu biegunów w
z
1
j
z
(
z
0
.
5
z
2
2
z
2
4. KRYTERIUM ROUTHA
Kryterium Routha będzie mogło być stosowane dla układów dyskretnych jeśli znajdzie się
przekształcenie, które dokona transformacji okręgu jednostkowego z płaszczyzny
z
na oÅ› liczb
urojonych na innej płaszczyźnie zespolonej. Nie można zastosować zależności
z
= exp(
Ts
) gdyż
przekształca równanie algebraiczne w funkcji
z
na niealgebraiczne równanie w funkcji
s
i kryterium
Routha w dalszym ciągu nie będzie mogło być stosowane, ale poniżej znajdują. Jednakże jest wiele
transformacji biliniowych o postaci
z
ar
b
(4)
cr
d
gdzie
a
,
b
,
c
,
d
są stałymi rzeczywistymi, natomiast
r
jest zmienną zespoloną. Przekształcenie opisane
równaniem (4) będzie przekształcać okręgi z płaszczyzny
z
na linie proste na płaszczyźnie
r
. Pewna
taka transformacja, która przekształca obszar wnętrza okręgu jednostkowego z płaszczyzny
z
na lewÄ…
półpłaszczyznę na płaszczyźnie
z
ma postać
z
1
r
(5)
1
r
i określana jest mianem
transformacji
r
. Po przekształceniu równania charakterystycznego
określonego na płaszczyźnie
z
przy użyciu zależności (5) uzyskuje się równanie względem
r
, które
może być badane przy użyciu kryterium Routha. Transformacja
r
opisana wzorem (5)
prawdopodobnie jest najprostszą postacią, która może być użyta do ręcznego przekształcania równania
M
(
z
) na równanie w funkcji zmiennej zespolonej
r
.
Poniższe przykłady ilustrują zastosowanie transformacji
r
do równania charakterystycznego
określonego na płaszczyźnie
z
po to aby można było badać te równania przy użyciu kryterium
Routha.
Przykład 2
Przy użyciu kryterium Routha zbadaj stabilność układu dyskretnego opisanego poniższym
równaniem charakterystycznym
z
3
5
.
94
z
2
7
z
0
.
368
0
(2.1)
Rozwiązanie: Podstawiając równanie (5) do równania (2.1) i upraszczając je otrzymuje się
3
128
r
3
11
.
74
r
2
2
.
344
r
14
.
27
0
(2.2)
Tablica Routha dla równania (2.2)
Ostatnia aktualizacja: 04-11-08
M. Tomera
3
.
 Teoria sterowania
Stabilność liniowych układów dyskretnych
s
3
3.128
2.344
s
2
11.74
14.27
s
1
6.146
s
14.27
W pierwszej kolumnie tablicy Routha występują dwie zmiany znaku czyli równanie
charakterystyczne (2.2) ma dwa pierwiastki znajdujące się na zewnątrz okręgu jednostkowego
na płaszczyźnie
z
. Wyniki te mogą być sprawdzone zarówno na płaszczyźnie
z
jak i
r
. Dla
równania (2.1) pierwiastki maja następujące wartości
z
=
0
2.0,
z
=
3.984,
z
= 0.0461. Trzy
pierwiastki na płaszczyźnie
r
mają następujące wartości
r
=
3.0,
r
= 1.67,
z
=
0.9117.
Przykład 3
Przy projektowaniu układu dyskretnego uzyskane zostało następujące równanie
charakterystyczne
M
(
z
)
z
3
z
2
1
.
Kz
K
0
0
(3.1)
gdzie
K
jest stałą rzeczywistą. Problem polega na znalezieniu zakresu
K
dla którego układ ten
będzie układem stabilnym.
Rozwiązanie: Po pierwsze trzeba przekształcić
M
(
z
) na równanie względem
r
przy użyciu
transformacji biliniowej (5). W efekcie tego uzyskuje siÄ™
(
2
.
K
0
.
r
3
(
4
.
K
0
.
r
2
(
.
K
5
r
0
K
1
.
0
(3.2)
Tablica Routha dla równania (3.2)
s
3
2.5
K
+ 0.5
1.5
K
+ 5.5
s
2
4.5
K
+ 0.5
0.5
K
+ 1.5
s
1
8
K
2
28
K
2
4
.
K
0
.
s
0.5
K
+ 1.5
Dla układu stabilnego wszystkie elementy w pierwszej kolumnie tablicy Routha muszą być
dodatnie. Otrzymuje się następujące warunki
0
8
K
2
28
K
2
2.5
K
+ 0.5 > 0
4.5
K
+ 0.5 > 0
> 0
0.5
K
+ 1.5> 0
(3.3)
4
.
K
0
.
Prowadzi to do warunku stabilności
−
0.2 <
K
< 0.07
(3.4)
5. METODY BEZPOÅšREDNIE BADANIA STABILNOÅšCI
W literaturze można również znaleźć metody badania stabilności, które mogą zostać zastosowane
bezpośrednio do równania charakterystycznego zdefiniowanego w funkcji
z
w odniesieniu do okręgu
jednostkowego na płaszczyźnie
z
. Jednakże metody te są bardzo kłopotliwe dla równań rzędu
wyższego od drugiego, szczególnie dla równań z nieznanymi parametrami. Nie ma powodu
wykorzystywania tych metod jeśli wszystkie współczynniki równania charakterystycznego są znane,
gdyż w tym przypadku można skorzystać z programu komputerowego i wyznaczyć dokładne wartości
pierwiastków. Jednakże warto wprowadzić warunki konieczne stabilności, które pozwalają na wstępna
ocenę na podstawie współczynników równania charakterystycznego przy użyciu metody badania
stabilności metodą Jury’ego.
Ostatnia aktualizacja: 04-11-08
M. Tomera
4
Teoria sterowania
Stabilność liniowych układów dyskretnych
Równanie charakterystyczne liniowego stacjonarnego układu dyskretnego ma postać
M
(
z
)
a
z
n
a
z
n
1
a
z
n
2
...
a
z
a
0
(6)
n
n
1
n
2
1
0
gdzie wszystkie współczynniki są rzeczywiste. Pośród wszystkich warunków wprowadzonych przez
Jury’ego, poniższe warunki konieczne muszą być spełnione przez równanie
M
(
z
) aby nie miało
pierwiastków ani na okręgu, ani na zewnątrz okręgu jednostkowego.
M
(
0
M
(
1
0
dla
n
parzystego
(7)
M
(
1
0
dla
n
nieparzystego
a
0
a
n
Jeśli równanie o postaci (6) nie spełnia wszystkich powyższych warunków to wówczas nie wszystkie
pierwiastki znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego i układ na pewno nie będzie stabilny.
Poniższe przykłady ilustrują zastosowanie warunków (7).
Przykład 4
Sprawdź poniższe równanie przy wykorzystaniu warunków (7).
M
(
z
)
z
3
z
2
0
.
z
0
.
25
0
(4.1)
Rozwiązanie: Warunki (7) po zastosowaniu do równania (4.1) przyjmują wartości
0
M
(
2
.
75
(4.2)
M
(
1
0
75
0
; dla
n
= 3 (nieparzyste)
(4.3)
a
(4.4)
Wszystkie warunki (7) są spełnione i dlatego też nic nie da się powiedzieć o stabilności układu.
0
0
.
25
a
3
1
Przykład 5
Sprawdź poniższe równanie przy wykorzystaniu warunków (7).
M
(
z
)
z
3
z
2
0
.
z
1
25
0
(5.1)
Rozwiązanie: Warunki (7) po zastosowaniu do równania (5.1) przyjmują wartości
0
M
(
1
.
75
(5.2)
M
(
1
0
.
75
0
; dla
n
= 3 (nieparzyste)
(5.3)
a
0
1
25
powinno być mniejsze od
3
a
(5.4)
Ponieważ warunki (5.3) oraz (5.4) według zasady (7) dla równania (5.1) nie są spełnione
dlatego też przynajmniej jeden pierwiastek znajduje się na zewnątrz okręgu jednostkowego.
5.1. Układy drugiego rzędu
Warunki (7) są konieczne i wystarczające kiedy układ jest drugiego rzędu. Dlatego też warunki
konieczne i wystarczające stabilności dla równania drugiego rzędu
Ostatnia aktualizacja: 04-11-08
M. Tomera
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]