wzory3, Semestr 1, Analiza I, sem. 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WZORYIII
1SzeregiFouriera
SzeregiemFouriera
funkcji
f
całkowalnej na przedziale
h−
l,l
i
nazywamy szereg trygonometryczny:
a
0
2
X
a
n
cos
nx
l
+
b
n
sin
nx
l
+
n
=1
gdzie:
1
l
Z
l
1
l
Z
l
f
(
x
) cos
nx
l
1
l
Z
l
f
(
x
) sin
nx
l
a
0
=
f
(
x
)
dx a
n
=
dx b
n
=
dx, n
2N
−
l
−
l
−
l
Je»eli funkcja
f
jest
parzysta
, to
2
l
Z
l
2
l
Z
l
f
(
x
) cos
nx
l
a
0
=
f
(
x
)
dx, a
n
=
dx, b
n
= 0 dla
n
2N
0
0
Je»eli funkcja
f
jest
nieparzysta
, to
2
l
Z
f
(
x
) sin
nx
l
a
0
= 0
, a
n
= 0
, b
n
=
dx
dla
n
2N
0
2Całkawielokrotna
2.1Całkapodwójna
1. Je»eli funkcja
f
jest ci¡gła na obszarze domkni¦tym
D
=
(
x,y
)
2R
2
:
a
¬
x
¬
b, g
(
x
)
¬
y
¬
h
(
x
)
normalnym wzgl¦dem osi
Ox
, to
Z Z
Z
b
Z
h
(
x
)
f
(
x,y
)
dxdy
=
f
(
x,y
)
dy
dx
D
a
g
(
x
)
2. Je»eli funkcja
f
jest ci¡gła na obszarze domkni¦tym
D
=
(
x,y
)
2R
2
:
c
¬
y
¬
d, p
(
y
)
¬
x
¬
q
(
y
)
normalnym wzgl¦dem osi
Oy
, to
Z Z
Z
d
Z
q
(
y
)
f
(
x,y
)
dxdy
=
f
(
x,y
)
dx
dy
D
c
p
(
y
)
Twierdzenie2.1(ozamianiezmiennychwcałcepodwójnej)
(
)
x
=
'
(
u,v
)
y
=
(
u,v
)
J
(
u,v
) =
@'
(
u,v
)
@u
@'
(
u,v
)
@v
(
)
jestwzajemniejednoznacznymklasyC
1
(tzn:',
2
C
1
()
)odwzorowaniemobszaru
naobszarD
oraz
8
(
u,v
)
2
J
(
u,v
)
6
= 0)
to
Z Z
Z Z
f
(
x,y
)
dxdy
=
f
(
x
(
u,v
)
,y
(
u,v
))
|
J
(
u,v
)
|
dudv
D
Współrz¦dne biegunowe:
x
=
r
cos
t
y
=
r
sin
t
J
(
r,t
) =
r
1
@
(
u,v
)
@u
@
(
u,v
)
@v
2.2Zastosowaniacałkipodwójnej
Pole obszaru
D
R
2
:
Z Z
|
D
|
=
dxdy
D
Masa obszaru płaskiego
D
o g¦sto±ci powierzchniowej
=
(
x,y
)
Z Z
m
(
D
) =
(
x,y
)
dxdy
D
Pole powierzchni płata
S
, który jest wykresem funkcji
z
=
f
(
x,y
)
,
(
x,y
)
2
D
Z Z
s
1 +
@f
@x
2
@f
@y
2
|
S
|
=
+
dxdy
D
2.3Całkapotrójna
Twierdzenie2.2(Całkaiterowanapoobszarzenormalnym)
Je»elifunkcjafjestci¡głanaobszarzenormalnym
V
=
{
(
x,y,z
)
2R
3
: (
x,y
)
2
D
xy
, '
(
x,y
)
¬
z
¬
(
x,y
)
}
to
Z Z Z
Z Z
Z
(
x,y
)
f
(
x,y,z
)
dxdydz
=
f
(
x,y,z
)
dz
dxdy
V
D
xy
'
(
x,y
)
Uwaga2.1
Prawdziwes¡tak»eanalogicznewzoryzcałkamiiterowanymipoobszarachnormalnych
wzgl¦dempłaszczyznOxziOyz.
2.4Zastosowaniacałekpotrójnych
Obj¦to±¢ obszaru
V
Z Z Z
|
V
|
=
dxdydz
V
Masa obszaru
V
o g¦sto±ci obj¦to±ciowej
Z Z Z
m
(
V
) =
(
x,y,z
)
dxdydz
V
Momenty statyczne wzgl¦dem płaszczyzn układu współrz¦dnych:
Z Z Z
Z Z Z
Z Z Z
M
xy
=
z
(
x,y,z
)
dxdydz, M
xz
=
y
(
x,y,z
)
dxdydz, M
yz
=
x
(
x,y,z
)
dxdydz
V
V
V
2.5Zamianazmiennychwcałcepotrójnej
(
x
=
'
(
u,v,!
)
y
=
(
u,v,!
)
z
=
(
u,v,!
)
@'
(
u,v,!
)
@u
@'
(
u,v,!
)
@v
@'
(
u,v,!
)
@!
(
)
J
(
v,u,!
) =
@
(
u,v,!
)
@u
@
(
u,v,!
)
@v
@
(
u,v,!
)
@!
@
(
u,v,!
)
@u
@
(
u,v,!
)
@v
@
(
u,v,!
)
@!
Je±li (
)jest wzajemnie jednoznacznym klasy
C
1
(
V
) odwzorowaniem obszaru
V
na obszar oraz
(
8
(
u,v,!
)
2
V
)
J
(
u,v,!
)
6
= 0, to:
Z Z Z
Z Z Z
f
(
x,y,z
)
dxdydz
=
f
(
'
(
u,v,!
)
,
(
u,v,!
)
,
(
u,v,!
))
|
J
(
u,v,!
)
|
dudvd!
V
Współrz¦dne sferyczne:
(
r,t,
)
2
<
0
,
+
1
)
×
<
0
,
2)
×
<
0
,
>
(
x
=
r
cos
t
sin
y
=
r
sin
t
sin
z
=
r
cos
|
J
(
r,t,
)
|
=
r
2
sin
[ Pobierz całość w formacie PDF ]