wzory2, Semestr 1, Analiza I, sem. 2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
WZORYII
1Całkaniewła±ciwa
1.
Z
1
Z
N
f
(
x
)
dx
=lim
N
!1
f
(
x
)
dx
a
a
gdzie
f
:
h
a,
1
)
! R
jestfunkcj¡ograniczon¡icałkowaln¡naka»dymprzedziale
h
a,N
i
, N
2R
.
2.
Z
b
Z
f
(
x
)
dx
=lim
!
b
−
f
(
x
)
dx
a
a
je±lidlaka»dego
< b
funkcja
f
jestcałkowalnanaprzedziale
< a, >
i lim
x
!
b
−
f
(
x
)=
1
2Szeregiliczbowe
Twierdzenie2.1(Warunekkoniecznyzbie»no±ciszeregów)
Je±liszereg
P
x
n
jestzbie»ny,to
lim
n
!1
x
n
=0
.
n
=1
Twierdzenie2.2(Kryteriumporównawczezbie»no±ciirozbie»no±ciszeregów)
1.Je±li
(
8
n
2N
)0
¬
x
n
¬
a
n
iszeregliczbowy
P
a
n
jestzbie»ny,toszereg
P
x
n
jestzbie»ny.
2.Je±li
(
8
n
2 N
)0
¬
b
n
¬
x
n
iszeregliczbowy
P
b
n
jestrozbie»ny,toszereg
P
x
n
jest
rozbie»ny.
Twierdzenie2.3(Kryteriumcałkowezbie»no±ci(rozbie»no±ci)szeregów)
Nichfunkcjafb¦dzienieujemnaoraznierosn¡canaprzedziale< n
0
,
1
)
,gdzien
0
2N
.Wówczas
szereg
P
f
(
n
)icałkaniewła±ciwa
R
1
n
0
f
(
x
)
dxs¡jednocze±niezbie»nelubrozbie»ne.
n
=
n
0
Twierdzenie2.4
Szereg
P
1
n
s
jest:
n
=1
a)
zbie»ny,je±lis >
1
;
b)
rozbie»ny,je±lis
¬
1
.
Twierdzenie2.5(uogólnionekryteriumporównawcze)
Je±liistniejegranica
lim
n
!1
v
n
ró»naodzera,toszereg
P
u
n
jestzbie»nywtedyitylkowtedy,gdy
zbie»nyjestszereg
P
v
n
.
2.1Szeregiowyrazachdowolnych
Twierdzenie2.6(Kryteriumd’Alemberta)
Rozwa»amyszereg
P
x
n
,gdzie
(
8
n
2N
)
x
n
6
=0
.
n
=1
Przypu±¢my,»e
lim
n
!1
|
x
n
+1
|
|
x
n
|
=
.
Wtedy
1
u
n
1.je±li <
1
,toszeregjestbezwzgl¦dniezbie»ny;
2.je±li >
1
lub
=+
1
,toszeregjestrozbie»ny.
Twierdzenie2.7(KryteriumCauchy’ego)
Rozwa»amyszereg
P
x
n
.
n
p
|
x
n
|
=
.Wtedy
n
=1
Przypu±¢my,»e
lim
n
!1
1.je±li <
1
,toszeregjestbezwzgl¦dniezbie»ny;
2.je±li >
1
lub
=+
1
,toszeregjestrozbie»ny.
(
−
1)
n
a
n
jestzbie»ny.Ponadtozachodzinierówno±¢:
(
8
n
2N
)
|
S
−
S
n
|¬
a
n
+1
,gdzieSoznaczasum¦szeregu,aS
n
jegosum¦cz¦±ciow¡.
P
n
=1
3Szeregipot¦gowe
P
a
n
(
x
−
x
0
)
n
n
=0
Promie«zbie»no±ci
:
r
=lim
n
!1
n
p
|
a
n
|
lub
r
=lim
1
|
a
n
|
|
a
n
+1
|
n
!1
Przedziałzbie»no±ci
:(
x
0
−
r,x
0
+
r
)
Obszarzbie»no±ci
zawiera
przedziałzbie»no±ci
szeregupot¦gowegooraz(lub)kra«ce
przedziałuzbie»no±ci(
x
0
−
r, x
0
+
r
).
Twierdzenie3.1
Niech
0
< r
¬1
b¦dziepromieniemzbie»no±ciszeregupot¦gowego
P
c
n
x
n
.
n
=0
Wtedy:
X
!
0
X
1
.
c
n
x
n
=
nc
n
x
n
−
1
dlaka»dego
x
2
(
−
r,r
)
n
=0
n
=1
X
!
Z
X
c
n
2
.
c
n
t
n
dt
=
n
+1
x
n
+1
dlaka»dego
x
2
(
−
r,r
)
n
=0
n
=0
0
3.1SzeregiTayloraiMaclaurina
X
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
·
(
x
−
x
0
)
n
n
=0
SzeregiMaclaurinaniektórychfunkcjielementarnychwrazzobszaramiichzbie»no±ci
a
)
1
1
−
x
=
X
x
n
,
|
x
|
<
1
b
)
e
x
=
X
x
n
n
!
, x
2R
n
=0
n
=0
c
)sin
x
=
X
(
−
1)
n
(2
n
+1)!
x
2
n
+1
, x
2R
d
)cos
x
=
X
(
−
1)
n
(2
n
)!
x
2
n
, x
2R
n
=0
n
=0
e
)ln(1+
x
)=
X
(
−
1)
n
−
1
n
x
n
,
−
1
< x
¬
1
n
=1
f
)sinh
x
=
X
x
2
n
+1
(2
n
+1)!
, x
2R
g
)cosh
x
=
X
x
2
n
(2
n
)!
, x
2R
n
=0
n
=0
2
Twierdzenie2.8(KryteriumLeibnitza)
Niechci¡g
{
a
n
}
n
=1
owyrazachnieujemnychb¦dzie
nierosn¡cyorazzbie»nydo
0
.Wtedyszereg
[ Pobierz całość w formacie PDF ]