wzory, Automatyka i Robotyka, Semestr 3, Wytrzymałość materiałów, Ściągi
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Informacje ogólne
Zależności różniczkowe
pomiędzy obciążeniem ciągłym i
siłami wewnętrznymi
dx
2
=
dT
dx
=−
q
q – obciążenie ciągłe; T – siła tnąca; Mg –
moment gnący;
Rozciąganie i ściskanie pręta prostego
Wydłużenie pręta (prawo
Hooke'a)
l
=
l
⋅
P
E
⋅
A
Δl – wydłużenie; l – długość; P – siła skupiona;
E – moduł sprężystości wzdłużnej Younga; A –
pole przekroju poprzecznego;
Odkształcenie wzdłużne
x
=
l
l
ε
x
– odkształcenie wzdłużne; Δl – wydłużenie; l –
długość;
Naprężenie normalne
=
P
A
σ – naprężenie normalne; P – siła skupiona; A –
pole przekroju poprzecznego;
Odkształcenie poprzeczne
y
=−⋅
x
ε
x
– odkształcenie wzdłużne; ε
y
– odkształcenie
poprzeczne; ν – liczba Poissona;
Momenty bezwładności i zboczenia figur płaskich
Moment bezwładności
I
o
=
∫
A
2
dA
I
o
=
I
x
I
y
I
0
– biegunowy moment bezwładności; ρ –
promień; (I
0
– ρ; I
l
– r; I
x
– y; I
y
– x)
Promień bezwładności
i
=
A
i – promień bezwładności; I – moment
bezwładności; A – pole przekroju poprzecznego;
Moment zboczenia (dewiacji,
odśrodkowy)
I
xy
=
∫
A
xydA
I
xy
– moment zboczenia; x,y – odległości od osi; A
– pole przekroju poprzecznego;
Twierdzenie Steinera
I
=
I
y
A
⋅
a
2
I
=
I
xy
A
⋅
ab
I
xy
, [I
y
]– moment zboczenia [bezwładności]
względem układu pierwotnego; I
ξη
[I
η
]- moment
zboczenia [bezwładności] względem układu
przesuniętego; a, b - odległości od osi; A – pole
przekroju poprzecznego;
Skręcanie pręta
Odkształcenie poprzeczne
(posunięcie)
=
d
dx
⋅=
G
γ – posunięcie; ρ – promień; φ – kąt skręcenia; τ –
naprężenia styczne; G – moduł sprężystości
poprzecznej Kirchhoffa;
Naprężenia styczne
=
M
s
I
o
⋅
M
s
– moment skręcający; I
o
– biegunowy moment
bezwładności; ρ – promień; τ – naprężenia
styczne;
Kąt skręcenia
=
M
s
l
GI
o
M
s
– moment skręcający; l – długość; G – moduł
sprężystości poprzecznej Kirchhoffa; I
o
–
biegunowy moment bezwładności; φ – kąt
skręcenia;
Warunek wytrzymałości na
skręcanie
max
=
M
s
W
o
dop
τ – naprężenia styczne; M
s
– moment skręcający;
W
o
– wskaźnik wytrzymałości na skręcanie;
Wskaźnik wytrzymałości na
skręcanie
W
o
=
I
o
r
W
o
– wskaźnik wytrzymałości na skręcanie; I
o
–
biegunowy moment bezwładności; r – promień
pręta;
Zginanie pręta
Odkształcenia wzdłużne =
y
ε – odkształcenie wzdłużne; y – odległość od osi
obojętnej; ρ – promień zginania;
Moment statyczny względem osi
obojętnej
S
z
=0
S
z
– moment statyczny względem osi obojętnej
Moment zboczenia
I
yz
=0
Iyz – moment zboczenia względem osi yz
d
2
M
g
Krzywizna linii ugięcia belki
=
M
g
ρ – promień zginania; M
g
– moment gnący; E –
moduł sprężystości wzdłużnej Younga; Iz –
moment bezwładności względem osi obojętnej;
EI
z
Naprężenia w pręcie zginanym
=
M
g
I
z
⋅
y
σ – naprężenia normalne; M
g
– moment gnący; y –
odległość od osi obojętnej; I
z
– moment
bezwładności względem osi obojętnej;
Warunek wytrzymałości na
zginanie
max
=
M
g
W
dop
σ – naprężenia normalne; M
g
– moment gnący; W
– wskaźnik wytrzymałości na zginanie;
Wskaźnik wytrzymałości na
zginanie
W
=
I
z
e
max
W – wskaźnik wytrzymałości na zginanie; I
z
–
moment bezwładności względem osi obojętnej;
e
max –
maksymalna odległość osi obojętnej od
punktu przekroju
Równanie różniczkowe osi
ugiętej
Ely''
=−
Mg
E – moduł sprężystości wzdłużnej Younga; l –
długość; y – ugięcie; M
g
– moment gnący;
Zginanie nierównomierne – wzór
Żurawskiego
xy
=
T S
z
y
I
z
b
y
τ – naprężenia styczne względem osi xy; T – siła
tnąca; Sz – moment statyczny względem osi z; I
z
–
moment bezwładności względem osi obojętnej; b;
Wyboczenie pręta
Równanie różniczkowe
wyboczenia pręta
y' '
k
2
y
=0
y – wychylenie pręta; k - ??
Eulerowska siła krytyczna
P
kr
=
2
EI
l
2
P
kr
– siła krytyczna; E – moduł sprężystości
wzdłużnej Younga; I – główny centralny moment
bezwładności przekroju; l – długość;
Siła krytyczna dla różnych
sposobów zamocowania
P
kr
=
2
EI
l
2
P
kr
– siła krytyczna; E – moduł sprężystości
wzdłużnej Younga; I – główny centralny moment
bezwładności przekroju; l – długość; α –
współczynnik zależny od sposobu zamocowania;
Oś ugięta
y
=
Asin
l
⋅
x
x – współrzędna x; l – długość; A;
Smukłość graniczna
gr
=⋅
E
H
λ
gr
– smukłość graniczna; σ
H
- maksymalne
naprężenie, dla którego można przyjąć ważność
prawa Hooke’a; E – moduł sprężystości
wzdłużnej Younga;
Naprężenia krytyczne dla
smukłości mniejszej od
smukłości granicznej (wzór
Eulera)
kr
=
2
E
2
λ – smukłość; σ
kr
– naprężenie krytyczne; E –
moduł sprężystości wzdłużnej Younga;
Naprężenia krytyczne dla
smukłości większej od smukłości
granicznej
(wzór Tetmajera – Jasińskiego)
(wzór ??)
kr
=
a
−
b
kr
=
A
−
B
2
λ – smukłość; σ
kr
– naprężenie krytyczne; A,B,a,b
– stałe;
Układy liniowo – sprężyste
Przemieszczenie
u
=
∑
i
⋅
P
i
P – siły zewnętrzne; α – przemieszczenia;
Energia sprężysta
L
=
V
=
1
2
P
L – praca sił zewnętrznych; V – energia sprężysta;
λ – wydłużenie; P – siła skupiona
Właściwa energia sprężysta 2=
2
E
==
E
2
Φ – właściwa energia sprężysta; E – moduł
sprężystości wzdłużnej Younga; σ – naprężenia
normalne; ε – odkształcenie;
1
Właściwa energia sprężysta dla
ścinania pręta
=
2
2G
Φ – właściwa energia sprężysta; τ – naprężenia
styczne; G – moduł sprężystości poprzecznej
Kirchhoffa;
Twierdzenia o układach liniowo – sprężystych
wzajemności prac
∑
i
∑
k
P
i
u
ik
=
∑
k
∑
i
P
k
u
ki
Suma prac sił na odpowiadających im
przemieszczeniach układu drugiego jest równa
sumie prac sił układu drugiego na
odpowiadających im przemieszczeniach układu
pierwszego.
wzajemności przemieszczeń
ik
=
ki
Przemieszczenie w miejscu „i” wywołane
jednostkowym obciążeniem w miejscu „j” jest
równe przemieszczeniu w miejscu „j”
wywołanym jednostkowym obciążeniem w
miejscu „i”.
Twierdzenie Castigliana
[przekształcony wzór]
∂
u
i
=
P
i
Pochodna cząstkowa całego układu
liniowo – sprężystego względem jednej z
niezależnie działających sił obciążających jest
równa odpowiadającemu tej sile przemieszczeniu.
Twierdzenie Menabrea –
Castigliana
∂
R
=0
W układzie liniowo – sprężystym sztywno
podpartym pochodna cząstkowa energii sprężystej
całego układu względem wielkości podpartej –
statycznie niewyznaczalnej jest równa 0.
Metoda Maxwella - Mohra
f
=
∑
i
∫
l
i
N
i
N
i
'
E
i
A
i
⋅
ds
i
∑
i
∫
l
i
G
i
A
i
⋅
ds
i
∑
i
∫
l
i
E
i
I
i
⋅
ds
i
f – przemieszczenie; N – siła normalna; E – moduł sprężystości wzdłużnej
Younga; A – pole przekroju poprzecznego; T – siła tnąca; G – moduł sprężystości
poprzecznej Kirchhoffa; Mg – moment gnący; I – moment bezwładności; l; s;
Teoria stanu naprężenia
P
=−
P
−
P
μ
– naprężenie jakim działa część II na część I;
P
-μ
– naprężenie jakim działa część I na część II;
Naprężenia w przekroju
p
x
=
x
i
xy
j
xz
k
p
y
=
yx
i
y
j
yz
k
p
z
=
zx
i
zy
j
z
k
τ
xy
– naprężenia styczne względem osi x i y; σ
x
–
naprężenia normalne względem osi x; p –
naprężenia w przekroju;
∂
x
∂
yx
∂
y
∂
zx
∂
z
x
=0
τ
xy
– naprężenia styczne względem osi x i y;
σ
x
– naprężenia normalne względem osi x; ρ –
gęstość materiału; x, y, z (przy ρ) – składowe sił
masowych (ciężar, siła bezwładności itp.)
Równania równowagi stanu
naprężenia
∂
x
∂
y
∂
y
∂
zy
∂
z
y
=0
∂
x
∂
yz
∂
y
∂
z
∂
z
z
=0
Prawo o równości
odpowiadających sobie naprężeń
stycznych
xy
=
yx
yz
=
zy
zx
=
xz
τ
xy
– naprężenia styczne względem osi x i y;
Naprężenia na płaszczyznach
prostopadłych do osi μ
p
x
=
x
l
yx
m
zx
n
p
y
=
xy
l
y
m
zy
n
p
z
=
xz
l
yz
m
z
n
l
=cos
, x
, m
=cos
,y
, n
=cos
, z
- cosinusy kierunkowe osi μ; σ
x
– naprężenia
normalne względem osi x; τ
xy
– naprężenia
styczne względem osi x i y; p – naprężenia na
płaszczyznach prostopadłych do μ;
Twierdzenie Bettiego o
Twierdzenie Maxwella o
∂
V
∂
V
i
T
i
T
i
'
Mg
i
Mg
i
'
∂
x
∂
xy
xz
Teoria stanu odkształcenia
∂
x
y
=
∂
v
Wzdłużne odkształcenia w
przestrzeni
∂
y
z
=
∂
w
ε
x
– odkształcenie względem osi x;
u, v, w – przemieszczenie w kierunku osi x, y, z;
∂
z
xy
=
∂
u
∂
y
∂
v
∂
x
γ
xy
– odkształcenie poprzeczne (posunięcie)
względem osi x i y;
u, v, w – przemieszczenie w kierunku osi x, y, z;
Poprzeczne odkształcenia w
przestrzeni
yz
=
∂
v
∂
z
∂
w
∂
y
zx
=
∂
w
∂
x
∂
u
∂
z
E
y
=
y
−
z
x
E
z
=
z
−
x
y
ε
x
– odkształcenie względem osi x; E – moduł
sprężystości wzdłużnej Younga; σ
x
– naprężenia
normalne względem osi x; ν – liczba Poissona;
E
Uogólnione prawo Hooke'a
xy
=
xy
G
yz
=
yz
γ
xy
– odkształcenie poprzeczne (posunięcie)
względem osi x i y; τ
xy
– naprężenia styczne
względem osi x i y; G – moduł sprężystości
poprzecznej Kirchhoffa;
G
zx
=
zx
G
Hipoteza największego
naprężenia normalnego
zc
1
zr
zc
2
zr
zc
3
zr
σ
zc
– wytrzymałość na ściskanie;
σ
zr
– wytrzymałość na rozciąganie;
σ
1
, σ
2
, σ
3
– naprężenia główne (największe
naprężenie normalne);
Hipoteza największych
odkształceń właściwych
zc
1
zr
zc
2
zr
zc
3
zr
ε
zc
– odkształcenie odpowiadające wytrzymałości
na ściskanie; ε
zr
– odkształcenie odpowiadające
wytrzymałości na rozciąganie;
ε
1
, ε
2
, ε
3
– odkształcenia główne (największe
odkształcenia właściwe);
Hipoteza największych naprężeń
stycznych
−
zr
1
−
2
zr
−
zr
2
−
3
zr
−
zr
1
−
3
zr
−
zr
=
zc
; σ
zc
– wytrzymałość na ściskanie;
σ
zr
– wytrzymałość na rozciąganie;
σ
1
, σ
2
, σ
3
– naprężenia główne (największe
naprężenie normalne);
Naprężenie redukowane
(zastępcze)
r ed
=
2
4
2
σ
red –
naprężenia redukowane (zastępcze); σ –
naprężenia normalne; τ – naprężenia styczne;
Rozciąganie (ściskanie) i zginanie proste
Naprężenie całkowite
=
P
A
1
ay
i
2
σ – naprężenie całkowite; P – siła podłużna;
A – pole przekroju poprzecznego; a – mimośród;
i
z
– składowa promienia bezwładności;
Równanie osi obojętnej
y
o
=
−
i
2
a
a – mimośród; y
o
– odległość osi obojętnej od
początku układu współrzędnych; i
z
– składowa
promienia bezwładności;
x
=
∂
u
x
=
x
−
y
z
Ściskanie i zginanie ukośne
Naprężenie w punkcie B(y,z)
=
P
A
1
y
p
y
i
2
z
p
z
i
2
yp, zp – współrzędne przyłożenia siły P; P – siła
podłużna; y, z – współrzędne punktu B; A – pole
przekroju poprzecznego; i
z
, i
y
– składowe
promienia bezwładności;
Równanie osi obojętnej (zbiór
punktów, w których naprężenia
są równe 0)
i
2
z
p
z
i
2
=0
yp, zp – współrzędne przyłożenia siły P;
y, z – współrzędne punktu B; i
z
, i
y
– składowe
promienia bezwładności;
Rdzeń (jądro) przekroju
Miejsce geometryczne przyłożenia siły powodującej wystąpienie w całym
przekroju naprężenie jednego znaku.
Położenie osi obojętnej
m
=
−
i
2
y
p
n
=
−
i
2
z
p
yp, zp – współrzędne przyłożenia siły P;
i
z
, i
y
– składowe promienia bezwładności;
m, n – punkty definiujące położenie osi obojętnej;
1
y
p
y
[ Pobierz całość w formacie PDF ]