wzorTaylora, Budownictwo PG, Semestr 1, Matematyka, Kolokwium
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
TWIERDZENIEROLLE’A
Niech
f
b¦dziefunkcj¡ci¡gł¡wprzedziale
a
¬
x
¬
b
iró»niczkowaln¡wewn¡trztegoprzedziału.Je±li
f
(
a
)=
f
(
b
),toistniejeconajmniejjedenpunkt
c
2
(
a,b
)taki,»e
f
0
(
c
)=0
.
TWIERDZENIELAGRANGE’AOWARTOCIREDNIEJ
Je»elifunkcja
f
jestci¡gławprzedziale
a
¬
x
¬
b
iró»niczkowalnawewn¡trztegoprzedziału,toistniejeco
najmniejjedenpunkt
c
2
(
a,b
)taki,»e
f
(
b
)
−
f
(
a
)
b
−
a
=
f
0
(
c
)
.
WZÓRTAYLORA
WzórTaylora-przedstawieniefunkcji(
n
+1)-razyró»niczkowalnejprzypomocywielomianuzale»negood
kolejnychjejpochodnychorazdostateczniemałejreszty.
Je»elifunkcja
f
maci¡głepochodnedorz¦du
n
wł¡czniewprzedzialedomkni¦tymoko«cach
x
0
i
x
orazma
pochodn¡rz¦du(
n
+1)wewn¡trztegoprzedziału,toistniejetakipunkt
c
le»¡cypomi¦dzy
x
0
i
x
,»efunkcj¦
f
mo»naprzedstawi¢wpostaci
f
(
x
)=
f
(
x
0
)+
f
0
(
x
0
)
1!
(
x
−
x
0
)+
f
00
(
x
0
)
2!
(
x
−
x
0
)
2
+
...
+
f
(
n
)
(
x
0
)
n
!
(
x
−
x
0
)
n
+
R
n
(
x,c
)
,
gdzie
R
n
(
x,c
)=
f
(
n
+1)
(
c
)
(
n
+1)!
(
x
−
x
0
)
n
+1
.
R
n
(
x,c
)nazywamyreszt¡wzoruTaylorawpostaciLagrange’a,
c
za±punktempo±rednimi
c
=
x
0
+
(
x
−
x
0
)
,
0
< <
1
.
Je»eli
x
0
=0,towzórTayloranazywamywzoremMaclaurina
f
(
x
)=
f
(0)+
f
0
(0)
1!
x
+
f
00
(0)
2!
x
2
+
...
+
f
(
n
)
(0)
n
!
x
n
+
R
n
(
x,c
)
,
oraz
R
n
(
x,c
)=
f
(
n
+1)
(
c
)
(
n
+1)!
x
n
+1
, c
=
x,
2
(0
,
1)
.
1
Zadanie1.
Sprawdzi¢,czypodanefunkcjespełniaj¡zało»eniatwierdzeniaRolle’awpodanychprzedziałach:
a)
f
(
x
)=
x
3
+4
x
2
−
7
x
−
10
,
−
1
¬
x
¬
2
b)
f
(
x
)=
4
−
tg
|
x
|
,
−
1
¬
x
¬
1
c)
f
(
x
)=1
−
3
p
x
2
,
−
1
¬
x
¬
1
Ad.a)
1
Funkcja
f
jestci¡głana
R
,zatemwszczególno±cijestci¡głanaprzedziale[
−
1
,
2]
2
Funkcja
f
jestró»niczkowalnanaprzedziale(
−
1
,
2)oraz
f
0
(
x
)=3
x
2
+8
x
−
7
3
f
(
−
1)=0=
f
(2)
Spełniones¡wszystkiezało»eniatwierdzeniaRolle’a,wi¦cistniejepunkt
c
2
(
−
1
,
2)taki,»e
f
0
(
c
)=0.
Ponadto
p
p
f
0
(
c
)=0
,
3
c
2
+8
c
−
7=0
,
c
=
−
4+
3
_
c
=
−
4
−
37
37
3
2
(
−
1
,
2)
.
St¡d
c
=
−
4+
p
3
3
.
Ad.b)
Funkcja
f
maposta¢:
4
+tg
x,
−
1
¬
x <
0
f
(
x
)=
4
−
tg
x,
0
¬
x
¬
1
1
Łatwopokaza¢,»efunkcja
f
jestci¡głanaprzedziale[
−
1
,
1]
2
Funkcja
f
jestró»niczkowalnana(
−
1
,
0)
[
(0
,
1).Nale»ysprawdzi¢ró»niczkowalno±¢funkcji
f
w
punkcie
x
0
=0:
4
+tg
h
−
4
h
=lim
f
(
h
)
−
f
(0)
h
=lim
sin
h
h
·
cos
h
=1
f
0
−
(0)=lim
h
!
0
−
h
!
0
−
h
!
0
−
4
−
tg
h
−
4
−
sin
h
h
·
cos
h
=
−
1
Poniewa»
f
0
−
(0)
6
=
f
0
+
(0),zatem
f
niejestró»niczkowalnawpunkcie
x
0
=0,wi¦c
f
niejestró»nicz-
kowalnanaprzedziale(
−
1
,
1).Zało»eniatwierdzeniaRolle’anies¡spełnione.
Ad.c)
1
Funkcja
f
jestci¡głanaprzedziale[
−
1
,
1]
2
Funkcja
f
jestró»niczkowalnana(
−
1
,
0)
[
(0
,
1).Nale»ysprawdzi¢ró»niczkowalno±¢funkcji
f
w
punkcie
x
0
=0:
f
(
h
)
−
f
(0)
h
=lim
f
0
+
(0)=lim
h
!
0
+
h
=lim
h
!
0
+
h
!
0
+
1
−
3
p
−
3
p
h
2
−
1
h
=lim
h
2
h
=
1
f
(
h
)
−
f
(0)
h
=lim
f
0
−
(0)=lim
h
!
0
−
h
!
0
−
h
!
0
−
1
−
3
p
−
3
p
h
2
h
=
−1
Poniewa»
f
0
(0)nieistnieje,wi¦c
f
niejestró»niczkowalnanaprzedziale(
−
1
,
1).Zało»eniatwierdzenia
Rolle’anies¡spełnione.
f
(
h
)
−
f
(0)
h
=lim
h
2
−
1
h
=lim
f
0
+
(0)=lim
h
!
0
+
h
!
0
+
h
!
0
+
Zadanie2.
Sprawdzi¢,czypodanefunkcjespełniaj¡zało»eniatwierdzeniaLagrange’awpodanychprzedziałach:
a)
f
(
x
)=
x
−
x
2
,
−
2
¬
x
¬
1
b)
f
(
x
)=arctg
x
, 0
¬
x
¬
1
Ad.a)
1
Funkcja
f
jestci¡głana
R
,zatemwszczególno±cijestci¡głanaprzedziale[
−
2
,
1]
2
Funkcja
f
jestró»niczkowalnanaprzedziale(
−
2
,
1)oraz
f
0
(
x
)=1
−
2
x
Spełniones¡wszystkiezało»eniatwierdzeniaLagrange’a,wi¦cistniejepunkt
c
2
(
−
2
,
1)taki,»e
f
0
(
c
)=
f
(1)
−
f
(
−
2)
1
−
(
−
2)
,
2
gdzie
f
(1)=0i
f
(
−
2)=
−
6.
Zatem
1
−
2
c
=
6
3
,
1
−
2
c
=2
,
c
=
−
1
2
.
St¡d
c
=
−
1
2
.
Ad.b)
1
Funkcja
f
jestci¡głana
R
,zatemwszczególno±cijestci¡głanaprzedziale[0
,
1]
2
Funkcja
f
jestró»niczkowalnanaprzedziale(0
,
1)oraz
f
0
(
x
)=
1
1+
x
2
Spełniones¡wszystkiezało»eniatwierdzeniaLagrange’a,wi¦cistniejepunkt
c
2
(0
,
1)taki,»e
f
0
(
c
)=
f
(1)
−
f
(0)
1
−
0
,
gdzie
f
(1)=arctg1=
4
i
f
(0)=arctg0=0.
Zatem
q
4
(1
−
4
)
_
c
=
−
q
4
(1
−
4
)
2
(0
,
1)
1+
c
2
=
1
4
,
c
=
q
4
(1
−
4
).
St¡d
c
=
Zadanie3.
Napisa¢wzórTaylorarz¦du
n
dlafunkcji
f
wotoczeniu
x
0
,je±li
a)
f
(
x
)=arcsin
x
,
n
=1,
x
0
=0
b)
f
(
x
)=
x
cos
x
,
n
=3,
x
0
=0
c)
f
(
x
)=
x
3
ln
x
,
n
=3,
x
0
=1
Ad.a)
1
D
f
=[
−
1
,
1]
ZewzoruTayloradla
n
=1i
x
0
=0mamy
f
(
x
)=arcsin
x
=
f
(0)+
f
0
(0)
1!
x
+
R
1
,
gdzie
R
1
=
f
00
(
x
)
2!
x
2
oraz
f
(0)=arcsin0=0
f
0
(
x
)=
1
1
−
x
2
, f
0
(0)=1
f
00
(
x
)=
x
p
p
(1
−
x
2
)
3
.
Zatemdla
|
x
|
<
1
arcsin
x
=0+1
·
x
+
x
2!
p
(1
−
(
x
)
2
)
3
·
x
2
,
2
(0
,
1)
.
Ad.b)
1
D
f
=
R
ZewzoruTayloradla
n
=3i
x
0
=0mamy
f
(
x
)=
x
cos
x
=
f
(0)+
f
0
(0)
1!
x
+
f
00
(0)
2!
x
2
+
f
(3)
(0)
3!
x
3
+
R
3
,
gdzie
R
3
=
f
(4)
(
x
)
4!
x
4
3
oraz
f
(0)=0
f
0
(
x
)=cos
x
−
x
sin
x, f
0
(0)=1
f
00
(
x
)=
−
sin
x
−
sin
x
−
x
cos
x
=
−
2sin
x
−
x
cos
x, f
00
(0)=0
f
(3)
(
x
)=
−
2cos
x
−
cos
x
+
x
sin
x
=
−
3cos
x
+
x
sin
x, f
(3)
(0)=
−
3
f
(4)
(
x
)=3sin
x
+sin
x
+
x
cos
x
=4sin
x
+
x
cos
x
Zatemdla
x
2
R
x
cos
x
=0+1
·
x
+0
·
x
2
+
−
3
3!
x
3
+
4sin
x
+
x
cos
x
x
4
,
2
(0
,
1)
.
4!
Ad.c)
1
D
f
=(0
,
1
)
ZewzoruTayloradla
n
=3i
x
0
=1mamy
f
(
x
)=
f
(1)+
f
0
(1)
1!
(
x
−
1)+
f
00
(1)
2!
(
x
−
1)
2
+
f
(3)
(1)
3!
(
x
−
1)
3
+
R
3
,
gdzie
R
3
=
f
(4)
(
c
)
4!
(
x
−
1)
4
, c
=1+
(
x
−
1)
,
2
(0
,
1)
oraz
f
(1)=0
f
0
(
x
)=3
x
2
·
ln
x
+
x
3
·
1
x
=3
x
2
·
ln
x
+
x
2
, f
0
(1)=1
f
00
(
x
)=6
x
·
ln
x
+3
x
2
·
1
x
+2
x
=6
x
·
ln
x
+5
x, f
00
(1)=5
f
(3)
(
x
)=6
·
ln
x
+6
x
·
1
x
+5=6
·
ln
x
+11
, f
(3)
(1)=11
f
(4)
(
x
)=
6
x
Zatemdla
x
2
D
f
x
3
·
ln
x
=0+(
x
−
1)+
5
2!
(
x
−
1)
2
+
11
3!
(
x
−
1)
3
+
6
4!
c
(
x
−
1)
4
.
Zadanie4.
Napisa¢wzórMaclaurinadlafunkcji
f
(
x
)=
e
−
2
x
.
Rozwi¡zanie:
1
D
f
=
R
f
(
x
)=
f
(0)+
f
0
(0)
1!
x
+
f
00
(0)
2!
x
2
+
...
+
f
(
n
)
(0)
n
!
x
n
+
R
n
(
x,c
)
,
i
R
n
(
x,c
)=
f
(
n
+1)
(
x
)
(
n
+1)!
x
n
+1
.
Obliczamy
f
(0)=1
f
0
(
x
)=
−
2
e
−
2
x
=(
−
2)
e
−
2
x
, f
0
(0)=
−
2
f
00
(
x
)=4
e
−
2
x
=(
−
2)
2
e
−
2
x
, f
00
(0)=4
f
(3)
(
x
)=
−
8
e
−
2
x
=(
−
2)
3
e
−
2
x
, f
(3)
(0)=
−
8
...
f
(
n
)
(
x
)=(
−
2)
n
e
−
2
x
, f
(
n
)
(0)=(
−
2)
n
f
(
n
+1)
(
x
)=(
−
2)
(
n
+1)
e
−
2
x
Zatemdla
x
2
R
f
(
x
)=1
−
2
x
+
4
3!
x
3
+
...
+
(
−
2)
n
n
!
x
n
+
(
−
2)
(
n
+1)
e
−
2
x
2!
x
2
−
8
(
n
+1)!
x
(
n
+1)
,
2
(0
,
1)
.
4
Zadanie5.
Wielomian
f
(
x
)=
x
4
−
5
x
3
+
x
2
−
3
x
+4przedstawi¢jakosum¦pot¦gdwumianu
x
−
4.
Rozwi¡zanie:
Ztre±cizadaniawynika,»e
x
0
=4.
Obliczamy
f
(4)=
−
56
f
0
(
x
)=4
x
3
−
15
x
2
+2
x
−
3
, f
0
(4)=21
f
00
(
x
)=12
x
2
−
30
x
+2
, f
00
(4)=74
f
(3)
(
x
)=24
x
−
30
, f
(3)
(4)=66
f
(4)
(
x
)=24
, f
(4)
(4)=24
8
n
5
8
x
2
R
f
(
n
)
(
x
)=0
)
R
4
=0
.
Zatem
x
4
−
5
x
3
+
x
2
−
3
x
+4=
−
56+21(
x
−
4)+
74
2
(
x
−
4)
2
+
66
3!
(
x
−
4)
3
+
24
4!
(
x
−
4)
4
.
Zadanie6.
Oszacowa¢bł¦dywzorówprzybli»onych
a)
e
x
1+
x
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+
x
5
5!
, 0
¬
x
¬
1
p
1+
x
1+
x
2
−
x
2
8
,
|
x
|¬
1
4
Ad.a)
Niech
f
(
x
)=
e
x
, D
f
=
R
.
ZewzoruMaclaurina
f
(
x
)=
f
(0)+
f
0
(0)
b)
1!
x
+
f
00
(0)
2!
x
2
+
f
(3)
(0)
3!
x
3
+
f
(4)
(0)
4!
x
4
+
f
(5)
(0)
5!
x
5
+
R
5
,
gdzie
R
5
=
f
(6)
(
c
)
6!
x
6
, c
=
x,
2
(0
,
1)
.
Zatem
e
x
=1+
x
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+
x
4
4!
+
x
5
5!
+
R
5
,
oraz
R
5
=
e
x
6!
x
6
, x
2
(0
,
1)
.
Bł¡dprzybli»eniaszacujemynast¦puj¡co
e
x
6!
x
6
=
1
6!
·|
e
x
|·|
x
|
6
¬
1
6!
·
e
1
·
1
6
=
e
6!
,
|
e
x
−
(1+
x
+
x
2
2
+
x
3
6
+
x
4
24
+
x
5
5!
)
|
=
|
R
5
|
=
poniewa»0
¬
x
¬
1,
x
2
(0
,
1)oraz
e
x
jestfunkcj¡rosn¡c¡.
Ad.b)
Niech
f
(
x
)=
p
1+
x, D
f
=[
−
1
,
1
).
ZewzoruMaclaurina
f
(
x
)=
f
(0)+
f
0
(0)
1!
x
+
f
00
(0)
2!
x
2
+
R
2
,
gdzie
R
2
=
f
(3)
(
c
)
3!
x
3
, c
=
x,
2
(0
,
1)
.
Obliczamy
f
(0)=1
f
0
(
x
)=
1
2
p
x
+1
, f
0
(0)=
1
2
f
00
(
x
)=
−
1
4
p
(1+
x
)
3
, f
00
(0)=
−
1
4
f
(3)
(
x
)=
3
8
p
(
x
+1)
5
,
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]