wzor Poissona, Dr Przeradzki
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozwi¡zanie zagadnienia Dirichleta dla
r
ó
wnania Laplace’a w kole
Bogdan Przeradzki
Metodƒ rozdzielania zmiennych mo»na stosowa¢ tak»e do innych r
ó
w-
na«. Jedynym ograniczeniem jest ich liniowo–¢ i liniowo–¢ warunk
ó
w do-
datkowych. Poka»emy teraz, jak stosuje siƒ ona do najprostszych r
ó
wna«
eliptycznych takich jak r
ó
wnanie Laplace’a. Niech wiƒcbƒdzie ko“em o
–rodku w pocz¡tku uk“adu na p“aszczy„nie i promieniu
R:
Przechodzimy do
wsp
ó
“rzƒdnych biegunowych
x
=
r
cos
Á;y
=
r
sin
Á:
Musimy wyrazi¢ laplas-
jan w nowych wsp
ó
“rzƒdnych. Zamiast r
ó
wnania
u
xx
+
u
yy
=0
dostaniemy
v
rr
+
1
r
v
r
+
1
r
2
v
ÁÁ
=0
:
Je–li interesuje nas r
ó
wnanie Laplace’a z warunkiem Dirichleta
uj@
=
h; h
:
@
!
R
;
to odpowiedni warunek na
v
ma posta¢
v
(
R;Á
)=
h
(
Á
)
:
Musimy jednak pamiƒta¢, »e zamiana zmiennych jest prawomocna dla
r>
0,
czyli(
x;y
)
6
=(0
;
0). Od rozwi¡zania
v
mo»na wiƒc »¡da¢, by istnia“a granica
lim
r!
0
+
v
(
r;Á
). Drugim warunkiem zgodno–ci jest2
¼
-okresowo–¢ funkcji
h
.
Przy za“o»eniu ci¡g“o–ci (a nawet ca“kowalno–ci) funkcji
h
mo»emy znale„¢
jej szereg trygonometryczny. Przy za“o»eniu, »e
h
jest ci¡g“a i przedzia“ami
monotoniczna, zachodzi r
ó
wno–¢
h
(
Á
)=
a
0
2
+
1
X
(
a
n
cos
nÁ
+
b
n
sin
nÁ
)
;
n
=1
gdzie
¼
Z
¼
Z
a
n
=
1
¼
h
(
Ã
)cos
nÃdÃ; b
n
=
1
¼
h
(
Ã
)sin
ÃdÃ:
¡¼
¡¼
1
Je–li rozwi¡zanie ma posta¢
v
(
r;Á
)=
f
(
r
)
g
(
Á
), to
f
(
r
)
+
rf
0
(
r
)
f
(
r
)
+
g
00
(
Á
)
g
(
Á
)
=0
;
a wiƒc obie funkcje wchodz¡ce w sk“ad tej sumy musz¡ by¢ sta“e i
f
(
r
)
=
¸
=
¡
g
00
(
Á
)
g
(
Á
)
:
Poniewa»
g
powinna by¢ funkcj¡2
¼
-okresow¡, a r
ó
wnanie
g
00
(
Á
)+
¸g
(
Á
)=0
ma rozwi¡zania2
¼
-okresowe tylko dla
¸
n
=
n
2
,
n
=0
;
1
;
2
;:::
, wiƒc tylko
takie sta“e s¡ dopuszczalne. Dla nich
g
n
(
Á
)=
c
n
cos
nÁ
+
d
n
sin
nÁ;
r
2
f
00
n
(
r
)+
rf
0
n
(
r
)
¡n
2
f
n
(
r
)=0
:
Jest to r
ó
wnanie Eulera, kt
ó
rego uk“adem fundamentalnym rozwi¡za« jest
para funkcji
r7!r
n
,
r7!r
¡n
, a w wyj¡tkowym przypadku
n
=0para
funkcji
r7!
1,
r7!
ln
r
. Mo»na wiƒc zapisa¢ nieznane rozwi¡zanie
v
jako
sumƒ szeregu
v
(
r;Á
)=
1
X
f
n
(
r
)
g
n
(
Á
)
n
=0
=b
c
0
+
b
d
0
ln
r
+
1
X
³
b
c
n
r
n
+
b
d
n
r
¡n
´
(
c
n
cos
nÁ
+
d
n
sin
nÁ
)
:
n
=1
Ka»dy sk“adnik tej sumy spe“nia r
ó
wnanie r
ó
»niczkowe bez wzglƒdu na wyb
ó
r
sta“ych. Je–liby wiƒc mo»na by“o wej–¢ pod znak sumy szeregu z pochodnymi
a» do rzƒdu 2 w“¡cznie z zachowaniem jednostajnej zbie»no–ci, to funkcja
v
spe“nia“aby r
ó
wnanie r
ó
»niczkowe. Zaobserwowane przez nas wcze–niej
»¡danie, by istnia“a granicalim
r!
0
+
v
(
r;Á
)
;
oznacza, »e
b
d
n
=0dla
n¸
0.
Pozostaje wykorzysta¢ warunek brzegowy
h
(
Á
)=
v
(
R;Á
)=b
c
0
+
1
X
b
c
n
R
n
(
c
n
cos
nÁ
+
d
n
sin
nÁ
)
:
n
=1
Por
ó
wnuj¡c wsp
ó
“czynniki z szeregu Fouriera funkcji
h
b
c
0
=
a
0
2
;
b
c
n
R
n
c
n
=
a
n
;
b
c
n
R
n
d
n
=
b
n
;
2
r
2
f
00
(
r
)
r
2
f
00
(
r
)+
rf
0
(
r
)
gdzie
c
n
i
d
n
s¡ dowolnymi sta“ymi. Odpowiadaj¡ce
n
2
r
ó
wnanie na funkcjƒ
f
n
ma posta¢
i w rezultacie
v
(
r;Á
)=
a
0
2
+
1
X
³
r
R
´
n
(
a
n
cos
nÁ
+
b
n
sin
nÁ
)
:
n
=1
Zbie»no–¢ jednostajna tego szeregu w ka»dym kole domkniƒtym
B
(0
;R
1
)
½
B
(0
;R
)wraz z pochodnymi jest gwarantowana przez kryterium Weierstrassa
i prosty fakt:
je–li0
<q<
1, ci¡g(
a
n
)jest ograniczony i
p2
N, to szereg
1
X
a
n
n
p
q
n
n
=1
jest bezwzglƒdnie zbie»ny.
Zatem otrzymana funkcja
v
spe“nia r
ó
wnanie r
ó
»niczkowe w kole
B
(0
;R
).
Przy funkcji
h
prawie dowolnej bƒd¡cej jedynie sum¡ zbie»nego punktowo
szeregu Fouriera, nie jest wcale oczywiste, »e
r!R
¡
v
(
r;Á
)=
h
(
Á
)
:
lim
Jest to konsekwencja tw. Abela (por. wyk“ady z analizy lub np. podrƒcznik
Fichtenholza, Rahunek r
ó
»niczkowy i ca“kowy t. 2, s. 344). W rezultacie
znaleziona funkcja
v
jest rozwi¡zaniem zagadnienia Dirichleta dla ko“a.
Je–li wstawimy wzory na
a
n
i
b
n
i wykorzystamy znany wz
ó
r trygonome-
tryczny
cos
nÃ
cos
nÁ
+sin
nÃ
sin
nÁ
=cos
n
(
Á¡Ã
)
;
to dostaniemy
v
(
r;Á
)=
1
¼
¼
Z
"
1
2
+
1
X
³
r
R
´
n
#
h
(
Ã
)
cos
n
(
Á¡Ã
)
dÃ:
n
=1
¡¼
Mo»emy zsumowa¢ szereg w nawiasie kwadratowym. Wystarczy oznaczy¢
z
=
r
R
e
i
(
Á¡Ã
)
:
Wtedy
1
X
z
n
=
z
1
¡z
=
1
X
³
r
R
´
n
(cos
n
(
Á¡Ã
)+
i
sin
n
(
Á¡Ã
))
;
n
=1
n
=1
a wiƒc nasz szereg to czƒ–¢ rzeczywista
Re
1
X
z
n
=Re
z
1
¡z
;
n
=1
3
a wyra»enie w nawiasie kwadratowym to
2
+
z
¶
2
Re
1+
z
1
¡z
=
1
2
Re
(1+
z
)(1
¡z
)
Re
1
¡z
j
1
¡zj
2
¢
2
¯
¯
1
¡
r
R
(cos(
Á¡Ã
)+
i
sin(
Á¡Ã
))
¯
¯
2
1
¡
¡
r
R
=
1
2
j
1
¡zj
2
=
1
2
=
1
2
R
2
h
¡
1
¡
r
R
cos(
Á¡Ã
)
¢
2
+
¡
r
R
R
2
¡r
2
¢
2
sin
2
(
Á¡Ã
)
i
=
1
2
R
2
¡r
2
R
2
¡
2
Rr
cos(
Á¡Ã
)+
r
2
:
Ostatecznie otrzymujemy wz
ó
r (zwany wzorem Poissona):
v
(
r;Á
)=
1
2
¼
¼
Z
(
R
2
¡r
2
)
h
(
Ã
)
R
2
¡
2
Rr
cos(
Á¡Ã
)+
r
2
dÃ
¡¼
na rozwi¡zanie zagadnienia Dirichleta
u
xx
+
u
yy
=0
; uj
@B
(0
;R
)
=
h;
gdzie przyjƒli–my, »e
x
=
r
cos
Á;y
=
r
sin
Á;
i
h
jako funkcja okre–lona na
brzegu ko“a, a wiƒc dla
R
e
iÁ
jest funkcj¡
Á:
4
µ
1
=
1
1
¡jzj
2
[ Pobierz całość w formacie PDF ]