wyznaczniki, Budownictwo, Semestr 3
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wyznacznikmacierzy
Definicja
(Wyznacznikamacierzy)
Wyznacznikiem macierzy kwadratowejA= [
a
ij
] stopnia
n
nazywamy liczb¦ rzeczywist¡ okre±lon¡
wzorem:
je»eli
n
= 1 , to
detA= det [
a
11
] =
|
a
11
|
=
a
11
je»eli
n >
1 , to
a
11
a
12
... a
1
n
a
21
a
22
... a
2
n
detA= det [
a
ij
] =
=
... ... ... ...
a
n
1
a
n
2
... a
nn
= (
−
1)
1+1
a
11
M
11
+ (
−
1)
1+2
a
12
M
12
+
...
+ (
−
1)
1+
n
a
1
n
M
1
n
gdzie
M
ij
oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzyApoprzez wykre±lenie
i
-tego
wiersza i
j
-tej kolumny.
M
ij
nazywamy minorem stopnia
n
−
1 macierzy kwadratowejAstopnia
n
.
Mówimy:
stopie« wyznacznika -
n
wiersz (kolumna) wyznacznika
element wyznacznika
Obliczaniewyznaczników
Wyznacznik stopnia 2
a
11
a
12
=
a
11
a
22
−
a
12
a
21
a
21
a
22
2
Przykład
−
3
1
=
−
3
·
3
−
1
·
2 =
−
11
2
3
Wyznacznik stopnia 3 - reguła Sarrusa
a
11
a
12
a
13
a
11
a
12
=
a
11
a
22
a
33
+
a
12
a
23
a
31
+
a
21
a
22
a
23
a
21
a
22
a
31
a
32
a
33
a
31
a
32
+
a
13
a
21
a
32
−
a
13
a
22
a
31
−
a
11
a
23
a
32
−
a
12
a
21
a
33
Przykład
1
2
0
−
2
1
3
−
1
0
1
Twierdzenie NiechA= [
a
ij
] b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia
n
. Wówczas
detA= (
−
1)
i
+1
a
i
1
M
i
1
+ (
−
1)
i
+2
a
i
2
M
i
2
+
...
+ (
−
1)
i
+
n
a
in
M
in
dla dowolnie wybranego
i
= 1
,
2
,...,n
, jak równie»
detA= (
−
1)
1+
j
a
1
j
M
1
j
+ (
−
1)
2+
j
a
2
j
M
2
j
+
...
+ (
−
1)
n
+
j
a
nj
M
nj
dla dowolnie wybranego
j
= 1
,
2
,...,n
.
Pierwszy wzór nazywa si¦ rozwini¦ciem (Laplace’a) wyznacznika wzgl¦dem
i
-tego wiersza. Drugi
wzór nazywa si¦ rozwini¦ciem (Laplace’a) wyznacznika wzgl¦dem
j
-tej kolumny.
Wyra»enie (
−
1)
i
+
j
M
ij
nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu
a
ij
.
Przykład
Oblicz wyznaczniki
1
2
0
0
−
2
1
3
0
−
1
0
1
2
3
−
1
1
0
3
1
2
0
2
0
−
2
1
3
0
2
0
0
4
0
0
3
−
1
1
0
2
0
−
1
3
0
0
Własno±ciwyznaczników
Wyznacznik macierzy jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej, tj.
T
detA= detA
Wniosek
Wszystkie własno±ci prawdziwe dla wierszy wyznacznika sa prawdziwe równie» dla
kolumn.
Je»eli w pewnym wierszu wyznacznika wszystkie elementy s¡ zerami, to wyznacznik jest równy
zero.
Je»eli w wyznaczniku s¡ dwa wiersze proporcjonalne (równe), to wyznacznik jest równy zero.
Warto±¢ wyznacznika nie zmieni si¦, je»eli do elementów dowolnego wiersza dodamy odpowiadaj¡ce
im elementy innego wiersza pomno»one przez dowoln¡ liczb¦.
Wyznacznik zmieni znak na przeciwny, je»eli zmienimy ze sob¡ dwa dowolne wiersze.
Wspólny czynnik danego wiersza mo»na wył¡czy¢ przed znak wyznacznika, tj.
a
11
a
12
...
a
1
n
a
11
a
12
... a
1
n
...
... ...
...
... ... ...
...
=
a
i
1
a
i
2
... a
in
a
i
1
a
i
2
... a
in
...
... ...
...
... ... ...
...
a
n
1
a
n
2
...
a
nn
a
n
1
a
n
2
... a
nn
Przykład
Oblicz wyznacznik
1
0
2
1
1
2
3
0
1
4
1
1
2
8
2
−
4
4
Twierdzenie
(Cauchy’ego)
Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest równy iloczynowi
wyznaczników tych macierzy, tj.
det (AB) = detA
·
detB
.
Uwaga
(Wyznacznikiniekórychmacierzy”specjalnych”)
Wyznacznik macierzy trójk¡tnej (w szczególno±ci diagonalnej) jest równy iloczynowi elementów,
stoj¡cych na głównej przek¡tnej, tj.
a
11
a
12
a
13
... a
1
n
0
a
22
a
23
... a
2
n
=
a
11
·
a
22
·
...
·
a
nn
0
0
a
33
... a
3
n
... ... ... ... ...
0
0
0
... a
nn
Wyznacznik macierzy jednostkowej dowolnego stopnia jest równy 1.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]