wyboc 15, pk budownictwo nst, WMT Wytrzymałość materiałów (4 semestr)
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
1
1. RÓWNOWAGA PRĘTA PRZY ŚCISKANIU
P < P
kr
P
≅
P
kr
P > P
kr
równowaga
stateczna
równowaga
obojętna
równowaga
niestateczna
Tak długo, jak P<P
kr
pręt zachowuje się w sposób „stateczny”, tzn. znajduje się w stanie
początkowej równowagi prostoliniowej. Wówczas,
gdy siła osiągnie wartość krytyczną P
kr
pręt
traci stateczność (ulega wyboczeniu),
a jego ugięcia mogą być dowolnie duże.
Wyboczenie jest to zatem utrata przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na rzecz
równowagi obojętnej lub niestatecznej.
2. SIŁA KRYTYCZNA DLA SŁUPA
2.1. Zakres liniowo sprężysty
∗
słup idealny, tzn. idealnie prosty i obciążony centralnie przyłożoną siłą ściskającą P
∗
materiał słupa jest liniowo sprężysty (materiał Hooke’a)
2.2. Pręt swobodnie podparty (zadanie Eulera (1707-1783))
=
( ) ( ) ( )
Mx P wx
( ) ( )
kr
P
EIw x
′′ =− =−
M x
P w x
kr
M,w
x
def
P
EI
k
2
=
kr
wx kwx
′′ +
( ) ( )
2
=
0
w
L
wx A kx B kx
=
sin
+
cos
wx
( )
== ⇒ =
00
B
0
( )
== ⇒ =
0
0
A kL
sin
kL n
=
π
;
n
=
12 3
, , .....
P
wx A
( )
=
sin
nx
L
π
P
EI
n
L
n I
L
( )
π
2
E
I
kr
=
⇒
P
=
⇒
min
P
=
P
n
=
1
=
P
=
kr
kr
kr
E
L
2
( )
wx L
π
22
2
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
2
2.3. Ogólna postać siły krytycznej (siły Eulera 1707-1783)
L
L
L
L
długości wyboczeniowe L
w
L
w
= L
L
w
= 2 L
L
w
≅
1
2
L
L
w
=
1
L
PP
==
π
2
EI
min
kr
E
L
2
w
3. NAPRĘŻENIE NORMALNE W SŁUPIE
∗
średnie naprężenie ściskające
P
π
2
E
I
π
2
E
i
2
min
min
σ
=
σ
=
kr
=
=
kr
E
A
A
L
2
w
L
2
w
def
.
L
w
π
λ
E
λ
=
⇒
σ
=
E
smukłość
i
2
min
naprężenie krytyczne
σ
Ε
R
e
aproks. Johnsona-Ostenfelda
granica
plastyczności
aproks. Tetmajera-Jasińskiego
R
H
krzywa Eulera
granica
proporcjonaln.
λ
gr
smukłość
λ
wyboczenie poza
zakresem LS
wyboczenie w
zakresie LS
∗
zakres liniowo sprężystej ( LS )pracy materiału
σ
EH
<
R
⇒> =
λ λ π
gr
E
R
H
2
2
ŚCISKANIE SŁUPÓW PROSTYCH
3
∗
zakres pozaliniowo sprężystej pracy materiału
R
HE e
< <
σ
R
⇒ <
λ λ
gr
warunki „brzegowe”
λ
= ⇒ =
0
σ
R
e
;
λ λ
= ⇒=
gr
σ
R
H
aproksymacja liniowa T-J
σ
TJ
−
=− ⇒ = −
ab
λ σ
TJ
−
R
e
RR R
E
e
−
H H
λ
kr
kr
π
aproksymacja paraboliczna J-O
σ
JO
−
=− ⇒ = −
−
AB
λ
2
σ
JO
−
R
e
RRR
E
e
HH
λ
2
kr
kr
π
2
4. PROJEKTOWANIE PRĘTÓW ŚCISKANYCH
z
warunek projektowania
σ
=
P
≤
σ
kr
A
z
W przypadku dopuszczenia do wyboczenia w zakresie pozaliniowo sprężystym przyjmuje
się, że zamiast granicy plastyczności R
e
należy wziąć wytrzymałość obliczeniową na
rozciąganie R
o
.
π
2
E
E
dla
λ
>
λ
=
π
λ
2
gr
R
σ
=
H
kr
R
−
R
R
R
−
o
H
H
λ
dla
0
<
λ
<
λ
o
gr
π
E
z
założenie
σ
kr
=
ϕ
( )
λ
R
o
ϕ
()
λ
=
kr
R
współczynnik wyboczeniowy
o
Normy uwzględniają we współczynniku wyboczeniowym takie czynniki jak losowość
charakterystyk materiałowych, losowość obciążenia i odstępstwa od prostoliniowości pręta
ściskanego (tzw. imperfekcje)
π
2
E
E
dla
λ
>
λ
=
π
λ
2
R
gr
R
ϕ
()
λ
=
o
H
R
−
R
R
1
−
o
H
H
λ
dla
0
<
λ
<
λ
gr
π
R
E
o
4.1. Algorytm obliczeń
1. war. wytrzymałościowy
P
≤
R
⇒
A
A
o
2. przyjąć przekrój
A
×
′
≅
3
A
3. obliczyć smukłość pręta
λ
oraz tzw. smukłość porównawczą
=
L
w
λ
=
π
E
p
i
1
.
15
R
min
o
4. z tablic wziąć wartość wsp. wyboczeniowego
ϕ
dla określonego stosunku
λ
p
5. sprawdzić warunek projektowania
σ
≤
σ
⇒
P
≤
R
kr
()
o
A
ϕ
λ
σ
[ Pobierz całość w formacie PDF ]