wyklad9, Studia, Przyszle lata, II rok pg, matma
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
RACHUNEKCAÃLKOWYFUNKCJIJEDNEJZMIENNEJ
CaÃlkinieoznaczone
Definicja1(funkcjipierwotnej)
FunkcjaFjestfunkcj¸apierwotn¸a
funkcjifnaprzedzialeI,je˙zeli
F
0
(
x
)=
f
(
x
)
;dlaka˙zdegox2I:
Twierdzenie1(podstawoweofunkcjachpierwotnych)
NiechF
b¸edziefunkcj¸apierwotn¸afunkcjifnaprzedzialeI.W´owczas
1.G
(
x
)=
F
(
x
)+
C
0
,gdzieC
0
2IR,jestfunkcj¸apierwotn¸afunkcjif
naI,
2.ka˙zd¸afunkcj¸epierwotn¸afunkcjifnaImo˙znaprzedstawi´cwpostaci
F
(
x
)+
C
1
,gdzieC
1
2IR.
Definicja2(caÃlkinieoznaczonej)
NiechFb¸edziefunkcj¸apierwotn¸a
funkcjifnaprzedzialeI.CaÃlk¸anieoznaczon¸a,ozn.
Z
f
(
x
)
dx,funkcji
fnaprzedzialeInazywamyzbi´orfunkcji
fF
(
x
)+
C
:
C2IRg;
gdzie
f
(
x
)
nazywamyfunkcj¸apodcaÃlkow¸a.
CnazywamystaÃl¸acaÃlkowania,
folia1,wyklad9.tex,31.10.2002
Wniosek1
Zachodziwz´or
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
C
gdzieF
(
x
)
jestjak¸akolwiekfunkcj¸apierwotn¸afunkcjif
(
x
)
narozwa˙zanym
przedziale,Cjestdowoln¸astaÃl¸a.
Fakt1(pochodnacaÃlkinieoznaczonej)
Niechfunkcjafmafunkcj¸e
pierwotn¸anaprzedzialeI.Wtedydlaka˙zdegox2Izachodziwz´or
·
Z
f
(
x
)
dx
¸
0
=
f
(
x
)
Fakt2(caÃlkanieoznaczonapochodnej)
Niechfunkcjaf
0
mafunkcj¸e
pierwotn¸anaprzedzialeI.Wtedydlaka˙zdegox2Izachodziwz´or
Z
f
0
(
x
)
dx
=
f
(
x
)+
C
gdzieC2IR.
Twierdzenie2(ocaÃlkowalno´sciwsensieNewtona)
Je˙zelifunkcja
f
(
x
)
jestci¸agÃlanaprzedzialeI,tojestcaÃlkowalnawsensieNewtona
natymprzedziale.
folia2,wyklad9.tex,31.10.2002
Twierdzenie3(oliniowo´scicaÃlkinieoznaczonej)
Je˙zelifunkcje
figmaj¸afunkcjepierwotne,to
1.
Z
[
f
(
x
)
¨g
(
x
)]
dx
=
Z
f
(
x
)
dx¨
Z
g
(
x
)
dx
2.
Z
A¢f
(
x
)
dx
=
A¢
Z
f
(
x
)
dx
Twierdzenie4(ocaÃlkowaniuprzezcz¸e´sci)
Je˙zelifunkcjeuiv
maj¸anapewnymprzedzialeci¸agÃlepochodneu
0
iv
0
,to
Z
u
(
x
)
¢v
0
(
x
)
dx
=
u
(
x
)
¢v
(
x
)
¡
Z
u
0
(
x
)
¢v
(
x
)
dx
natymprzedziale.
Twierdzenie5(ocaÃlkowaniuprzezpodstawienie)
Je˙zeli
1.funkcjaf
:
I!IRjestci¸agÃlanaprzedzialeI,
2.funkcja'
:
T!Imaci¸agÃl¸apochodn¸anaprzedzialeT,
to
Z
f
(
x
)
dx
=
Z
f
(
'
(
t
))
'
0
(
t
)
dt
=
F
(
'
(
t
))+
C;
gdzieFjestdowoln¸afunkcj¸apierwotn¸afunkcjiforazC2IR.
folia3,wyklad9.tex,31.10.2002
Wzoryrekurencyjne
Z
sin
n
xdx
=
¡
sin
n¡
1
x¢
cos
x
n
+
n¡
1
Z
sin
n¡
2
xdx;n¸
2
n
Z
cos
n
xdx
=
cos
n¡
1
x¢
sin
x
n
+
n¡
1
Z
cos
n¡
2
xdx;n¸
2
n
(1+
x
2
)
n
=
x
2(
n¡
1)(1+
x
2
)
n¡
1
+
2
n¡
3
Z
dx
(1+
x
2
)
n¡
1
;n¸
2
2(
n¡
1)
(
a
2
¨x
2
)
n
=
x
2(
n¡
1)
a
2
(
a
2
¨x
2
)
n¡
1
+
2
n¡
3
Z
dx
(
a
2
¨x
2
)
n¡
1
;
2(
n¡
1)
a
2
a>
0
;n¸
2
Z
tg
n
xdx
=
tg
n¡
1
x
n¡
1
¡
Z
tg
n¡
2
xdx;n¸
2
Z
(ln
x
)
n
dx
=
x
(ln
x
)
n
¡n
Z
(ln
x
)
n¡
1
dx
Z
x
n
e
x
dx
=
x
n
e
x
¡n
Z
x
n¡
1
e
x
dx
folia4,wyklad9.tex,31.10.2002
Z
dx
Z
dx
U˙zytecznewzory
Z
f
0
(
x
)
f
(
x
)
dx
=ln
jf
(
x
)
j
+
C;
przyzaÃlo˙zeniu,˙ze
f
(
x
)
6
=0
Z
f
n
(
x
)
¢f
0
(
x
)
dx
=
f
n
+1
(
x
)
n
+1
+
C;
dla
n2N[f
0
g
Z
f
0
(
x
)
r
r
f
(
x
)
dx
=2
f
(
x
)+
C;
przyzaÃlo˙zeniu,˙ze
f
(
x
)
>
0
Z
f
0
(
x
)
f
2
(
x
)
dx
=
¡
1
f
(
x
)
+
C;
przyzaÃlo˙zeniu,˙ze
f
(
x
)
6
=0
Twierdzenie6
Je˙zeli
Z
f
(
x
)
dx
=
F
(
x
)+
C;
to
Z
f
(
ax
+
b
)
dx
=
1
a
F
(
ax
+
b
)+
C
[ Pobierz całość w formacie PDF ]