wyklad6, matematyka, 0, httpmath.uni.lodz.pl~kowalcr, Topologia 1
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 6
Przestrzenie metryczne o
Ļ
rodkowe i zupełne.
Przypominamy, Ňe zbiór nazywamy przeliczalnym, jeĻli jest on równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb
naturalnych i , a co najwyŇej przeliczalnym, jeĻli jest on przeliczalny lub skoıczony.
Podamy najpierw definicjħ przestrzeni metrycznej oĻrodkowej i omówimy kilka z jej własnoĻci.
Definicja 65 (przestrzeni o
Ļ
rodkowej)
Przestrze
ı
metryczn
Ģ
(
r
X
,
nazywamy o
Ļ
rodkow
Ģ
, je
Ļ
li istnieje zbiór co najwy
Ň
ej przeliczalny i g
ħ
sty w tej
przestrzeni, tj. istnieje zbiór
A
Ì
X
taki,
Ň
e A jest co najwy
Ň
ej przeliczalny i
Cl
(
A
=
)
X
.
Zbiór,
A
o którym mowa w definicji 65, nazywa siħ czħsto oĻrodkiem przestrzeni
X
.
Przykład 66 (przestrzeni o
Ļ
rodkowej)
Przestrze
ı
euklidesowa
(
)
jest o
Ļ
rodkowa, gdy
Ň
przyjmuj
Ģ
c
8
łatwo wida
ę
,
Ň
e
A
jest zbiorem
,
×
A
=
przeliczalnym i ponadto
Cl
A
(
)
=
.
Twierdzenie 67
Obraz ci
Ģ
gły przestrzeni o
Ļ
rodkowej jest przestrzeni
Ģ
o
Ļ
rodkow
Ģ
.
Dowód
Niech
(
)
b
ħ
dzie przestrzeni
Ģ
metryczn
Ģ
o
Ļ
rodkow
Ģ
, a
(
)
X
, r
Y
, r
dowoln
Ģ
przestrzeni
Ģ
metryczn
Ģ
i niech
1
2
(
)
f
:
X
®
Y
b
ħ
dzie dowoln
Ģ
funkcj
Ģ
ci
Ģ
gł
Ģ
. Bez straty ogólno
Ļ
ci mo
Ň
emy przyj
Ģę
,
Ň
e
f
X
=
Y
, tj.
Ň
e funkcja
f
odwzorowuje przestrze
ı
X
na
Y
. Wybierzmy jaki
Ļ
, co najwy
Ň
ej przeliczalny zbiór
A
g
ħ
sty w przestrzeni
( )
X
. Oczywi
Ļ
cie
f
A
jest zbiorem co najwy
Ň
ej przeliczalnym w przestrzeni
Y
jako,
Ň
e jest to obraz zbioru co
( )
najwy
Ň
ej przeliczalnego
A
. Zostało wykaza
ę
,
Ň
e
f
A
jest zbiorem g
ħ
stym w przestrzeni
Y
. Zgodnie z
twierdzeniem 51 (a) wystarczy pokaza
ę
,
Ň
e bior
Ģ
c dowolny niepusty zbiór
U
otwarty w przestrzeni
Y
zbiór
( )
jest niepusty. We
Ņ
my zatem dowolny niepusty zbiór
U
otwarty w przestrzeni
Y
. Zbiór
( )
−
U
Ç
f
A
V
=
f
U
jest otwarty w
X
, gdy
Ň
funkcja
f
jest ci
Ģ
gła (zob. twierdzenie 55 (a)) i niepusty w
X
, gdy
Ň
f
jest
odwzorowaniem „na”. Poniewa
Ň
za
Ļ
A
jest g
ħ
sty w przestrzeni
X
, wi
ħ
c (zob. twierdzenie 51 (a)) zbiór
V
Ç
A
(
)
(
)
( )
( )
( )
jest niepusty. We
Ņ
my
x
Î
V
Ç
A
. Mamy
f
x
Î
f
V
Ç
A
Ì
f
V
Ç
f
A
=
U
Ç
f
A
, a to pokazuje,
Ň
e zbiór
0
0
( )
jest niepusty. Zbiór
( )
jest zatem zbiorem co najwy
Ň
ej przeliczalnym i g
ħ
stym w przestrzeni Y, a
U
Ç
f
A
f
A
to oznacza,
Ň
e przestrze
ı
(
)
Y
, r
jest o
Ļ
rodkowa.
2
Twierdzenie 68
Je
Ň
eli w przestrzeni metrycznej
(
r
X
,
istnieje nieprzeliczalny zbiór B o tej własno
Ļ
ci,
Ň
e dla dowolnych
(
)
x
,
y
Î
B
takich,
Ň
e
x
¹
y
mamy
r
x
,
y
³
r
, gdzie
r jest pewn
Ģ
liczb
Ģ
dodatni
Ģ
, to przestrze
ı
ta nie jest
0
o
Ļ
rodkowa.
1
Dowód
Przypu
Ļ
my wbrew tezie,
Ň
e przestrze
ı
(
r
X
,
jest o
Ļ
rodkowa. Niech
A
b
ħ
dzie zbiorem co najwy
Ň
ej
przeliczalnym i g
ħ
stym w tej przestrzeni, a
B
zbiorem nieprzeliczalnym o własno
Ļ
ci wspomnianej w zało
Ň
eniu
Ê
r
Ú
Ä
Ô
twierdzenia. Rozwa
Ň
my rodzin
ħ
zbiorów
=
K
Æ
x
,
0
Ö
:
x
Î
B
. Zauwa
Ň
my,
Ň
e zbiory tej rodziny s
Ģ
parami
3
r
r
Ä
Ô
Ä
Ô
dla pewnych
rozł
Ģ
czne. Istotnie gdyby tak nie było, to
0
0
K
Å
Æ
x
,
Õ
Ö
Ç
K
Å
Æ
y
,
Õ
Ö
¹
Æ
x
0
,
y
Î
B
. Wówczas
0
0
0
3
3
Ä
r
Ô
Ä
r
Ô
r
(
)
lub równowa
Ň
nie
istniałby punkt
z
Î
0
X
taki,
Ň
e
z
Î
K
x
,
0
i
z
Î
K
y
,
0
r
z
,
x
<
0
i
Å
Æ
Õ
Ö
Å
Æ
Õ
Ö
0
0
0
0
0
0
3
3
3
r
(
)
r
z
,
y
<
0
.
St
Ģ
d
za
Ļ
,
bior
Ģ
c
pod
uwag
ħ
nierówno
Ļę
trójk
Ģ
ta
dla
r
dostaliby
Ļ
my:
0
0
3
2
r
(
)
(
)
(
)
(
)
r
x
,
y
£
r
x
,
z
+
r
z
,
y
<
0
<
r
, co jest jednak niemo
Ň
liwe, gdy
Ň
na mocy zało
Ň
enia
r
x
,
y
³
r
dla
0
0
0
0
0
0
0
0
3
wszystkich
x
,
y
Î
B
.
r
Ä
Ô
We
Ņ
my dowolny element rodziny
, tj. kul
ħ
K
Å
Æ
x
,
Õ
Ö
– jednoznacznie wyznaczony element
x
Î
B
. Na mocy
3
r
r
Ä
Ô
Ä
Ô
twierdzenia 51 (a)
K
x
,
0
Ç
A
¹
Æ
, a st
Ģ
d istnieje
a
x
Î
A
taki,
Ň
e
a
x
Î
K
x
,
. A poniewa
Ň
rodzina
Å
Æ
Õ
Ö
Å
Æ
Õ
Ö
3
3
składa si
ħ
z ró
Ň
nych elementów, to tym samym istnieje ró
Ň
nowarto
Ļ
ciowa funkcja
f
:
®
A
, która ka
Ň
demu
Ä
r
Ô
elementowi
K
Æ
x
,
Ö
przyporz
Ģ
dkowuje punkt
a
. To jest jednak niemo
Ň
liwe, gdy
Ň
to by oznaczało,
Ň
e
3
(
)
jest podzbiorem zbioru co najwy
Ň
ej przeliczalnego
A
. Przestrze
ı
(
r
nieprzeliczalny zbiór
f
X
,
nie jest
zatem przestrzeni
Ģ
o
Ļ
rodkow
Ģ
.
Łatwo teraz podaę przykład przestrzeni, która nie jest przestrzeniĢ oĻrodkowĢ.
Przykład 69 (przestrzeni nie o
Ļ
rodkowej)
Korzystaj
Ģ
c z twierdzenia 68 widzimy,
Ň
e przestrze
ı
dyskretna
(
)
, r
nie jest o
Ļ
rodkowa. Istotnie, bior
Ģ
c
01
B
=
I
widzimy,
Ň
e
B
jest zbiorem nieprzeliczalnym i
Ň
e dla dowolnych
x
,
y
Î
B
takich,
Ň
e
mamy
x
¹
y
(
)
r
x
,
y
=
1
=
r
.
0
Przejdziemy teraz do zdefiniowania i podania kilku własnoĻci kolejnej klasy waŇnej klasy przestrzeni
metrycznych, a mianowicie przestrzeni metrycznych zupełnych.
Definicja 70 (przestrzeni zupełnej)
Przestrze
ı
metryczn
Ģ
(
r
nazywamy zupełn
Ģ
, je
Ļ
li ka
Ň
dy ci
Ģ
g
{ }
X
,
x
elementów tej przestrzeni spełniaj
Ģ
cy
n
warunek Cauchy’ego jest zbie
Ň
ny (do punktu tej przestrzeni), tj. istnieje punkt
x
Î
X
taki,
Ň
e
lim
x
n
=
x
.
n
®
¥
2
Przykład 71 (przestrzeni zupełnej)
Z twierdzenia 23 bezposrednio otrzymujemy,
Ň
e ka
Ň
da przestrze
ı
euklidesowa
(
)
k
,
r
jest zupełna.
e
Podamy teraz dwa waŇne w zastosowaniach twierdzenia, dotyczĢce przestrzeni metrycznych zupełnych.
Twierdzenie 72 (Cantora)
W przestrzeni metrycznej zupełnej zst
ħ
puj
Ģ
cy ci
Ģ
g niepustych zbiorów domkni
ħ
tych, których
Ļ
rednice tworz
Ģ
ci
Ģ
g zbie
Ň
ny do zera, posiada dokładnie jeden punkt wspólny.
Dowód
Niech
(
r
b
ħ
dzie przestrzeni
Ģ
metryczn
Ģ
zupełn
Ģ
i
{
}
X
,
F
dowolnym ci
Ģ
giem zst
ħ
puj
Ģ
cym niepustych zbiorów
domkni
ħ
tych, których
Ļ
rednice tworz
Ģ
ci
Ģ
g zbie
Ň
ny do zera. Dla ka
Ň
dej liczby naturalnej
n
niech
x
b
ħ
dzie
F
. Poka
Ň
emy,
Ň
e utworzony w ten sposób ci
Ģ
g
{ }
wybranym elementem zbioru
x
spełnia warunek
n
(
)
b
ħ
dzie dowoln
Ģ
liczb
Ģ
dodatni
Ģ
. Poniewa
Ň
, wi
ħ
c istnieje
i
Cauchy’ego. Niech
e
>
0
lim
diam
F
=
0
n
Î
n
n
®
¥
(
)
takie,
Ň
e
diam
F
<
e
dla
n
³
n
. Bior
Ģ
c teraz
k
,
l
Î
i
takie,
Ň
e
k
,
l
³
n
mamy
0
x
Î
F
Ì
F
i
x
Î
F
Ì
F
,
k
k
n
l
l
n
(
)
(
)
e
. Ci
Ģ
g
{ }
n
spełnia wi
ħ
c warunek Cauchy’ego, a poniewa
Ň
przestrze
ı
(
r
sk
Ģ
d
r
x
,
x
£
diam
F
<
x
X
,
jest
k
l
n
0
zupełna, to ci
Ģ
g ten jest zbie
Ň
ny do pewnego elementu
x
Î
X
. Ustalmy
m
Î
i
. Dla
n
³
m
mamy
(
)
x
Î
F
Ì
F
, a poniewa
Ň
x
= lim
x
, to na mocy twierdzenia 38 (a)
x
Î
Cl
F
. Poniewa
Ň
za
Ļ
zbiór
F
jest
n
n
m
n
n
®
¥
¥
1
. Zbiór
1
domkni
ħ
ty, wi
ħ
c
x
Î
F
. Pokazali
Ļ
my zatem,
Ň
e
x
Î
F
dla wszystkich
m
Î
N
, tj.
x
Î
F
F
jest
m
=
1
m
=1
zatem niepusty.
¥
Łatwo teraz pokaza
ę
,
Ň
e
1
F
składa si
ħ
z dokładnie jednego punktu. Istotnie, gdyby istniały dwa ró
Ň
ne punkty
m
=1
¥
1
x
i
y
nale
ŇĢ
ce
do
F
,
to
bior
Ģ
c
dowolne
m
Î
i
dostaliby
Ļ
my
m
=1
(
)
(
)
{
(
)
}
(
)
diam
F
m
=
sup
r
x
,
y
:
x
,
y
Î
X
³
r
x
,
y
>
0
, co przeczy warunkowi
lim
diam
F
=
0
.
1
1
1
1
n
n
®
¥
Twierdzenie 73 (Baire’a)
Je
Ň
eli
(
r
X
,
jest przestrzeni
Ģ
metryczn
Ģ
zupełn
Ģ
, to:
(a) iloczyn przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych i g
ħ
stych w
X
jest zbiorem g
ħ
stym w
X
.
(b) suma przeliczalnej rodziny zbiorów domkni
ħ
tych i brzegowych w
X
jest zbiorem brzegowym w
X
.
Dowód
¥
b
ħ
d
Ģ
zbiorami otwartymi i g
ħ
stymi w przestrzeni
X
. Musimy pokaza
ę
,
Ň
e zbiór
1
(a) Niech
G
,
G
,
G
,
2
G
1
2
3
n
=1
jest g
ħ
sty w przestrzeni
X
. We
Ņ
my dowolny niepusty zbiór otwarty
V
w
X
. Poniewa
Ň
zbiór
V
Ç
G
jest
0
1
3
niepusty (gdy
Ň
G
jest g
ħ
sty – zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz
1
taki,
Ň
e
(
)
uwaga 33 (d)), wi
ħ
c znajdziemy niepusty zbiór otwarty
V
o
Ļ
rednicy mniejszej ni
Ň
1
Cl
V
Ì
V
Ç
G
.
1
0
1
I dalej, poniewa
Ň
zbiór
V
Ç
G
jest niepusty (gdy
Ň
G
jest g
ħ
sty – zob. twierdzenie 51 (a)) i otwarty jako
1
2
iloczyn dwóch zbiorów otwartych (zobacz uwaga 33 (d)), wi
ħ
c znajdziemy niepusty zbiór otwarty
V
o
Ļ
rednicy
1
(
)
mniejszej ni
Ň
taki,
Ň
e
Cl
V
Ì
V
Ç
G
. Post
ħ
puj
Ģ
c tak dalej i bior
Ģ
c niepusty zbiór otwarty
V
Ç
G
2
1
2
n
−1
n
2
1
(
)
znajdziemy niepusty zbiór otwarty
V
o
Ļ
rednicy mniejszej ni
Ň
taki,
Ň
e
Cl
V
Ì
V
Ç
G
. A zatem istnieje
n
n
−1
n
n
ci
Ģ
g
{ }
V
niepustych zbiorów otwartych taki,
Ň
e
1
(
)
(
)
Cl
V
Ì
V
Ç
G
i
diam
V
n
<
dla
n
=
1
2
2
n
n
−1
n
n
¥
(
)
1
(
)
s
Ģ
niepuste (gdy
Ň
Niech
K
=
Cl
V
. Poniewa
Ň
zbiory
Cl
V
V
s
Ģ
niepuste), domkni
ħ
te (zob. uwaga 28
n
=
1
1
(
(
)
)
(
)
(c)
)
, o
Ļ
rednicach tworz
Ģ
cych ci
Ģ
g zbie
Ň
ny do zera (gdy
Ň
)
oraz zst
ħ
puj
Ģ
ce (gdy
Ň
diam
Cl
V
=
diam
V
<
n
n
n
(
)
(
)
Cl
V
Ì
V
Ç
G
Ì
V
Ì
Cl
V
,
i
n
Î
), wi
ħ
c na mocy twierdzenia Cantora (zob. twierdzenie 72) zbiór
K
n
n
−
1
n
n
−
1
n
−
1
jest jednopunktowy, sk
Ģ
d niepusty. Dostajemy zatem
¥
¥
¥
¥
¥
1
(
)
1
1
1
1
Æ
¹
K
=
Cl
V
Ì
V
Ç
G
=
V
Ç
G
Ì
V
Ç
G
,
n
n
−
1
n
n
−
1
n
0
n
n
=
1
n
=
1
n
=
1
n
=
1
n
=
1
¥
i po skorzystaniu z twierdzenie 51 (a), zbiór
1
G
jest g
ħ
sty w
X
.
n
=1
(b) Niech
F
,
F
,
F
,
2
b
ħ
d
Ģ
zbiorami domkni
ħ
tymi i brzegowymi w przestrzeni
X
. Musimy pokaza
ę
,
Ň
e zbiór
1
2
3
¥
8
F
jest brzegowy w przestrzeni
X
. Rozwa
Ň
my zbiory:
X
\
F
,
X
\
F
,
X
\
F
,
2
Oczywi
Ļ
cie s
Ģ
one otwarte
1
2
3
n
=1
(jako dopełnienia zbiorów domkni
ħ
tych) i g
ħ
ste w przestrzeni
X
, gdy
Ň
(
)
(
(
)
)
(
)
2
Cl
X
\
F
=
X
\
Int
X
\
X
\
F
=
X
\
Int
F
=
X
\
Æ
=
X
, dla
n
=
1
2
n
n
n
(zob. twierdzenie 31).
¥
(
)
1
Korzystaj
Ģ
c teraz z (a) zbiór
X
\
F
jest g
ħ
sty w
X
, a st
Ģ
d
n
=1
Ä
¥
Ô
Ä
¥
Ô
8
1
(
)
Å
Æ
Õ
Ö
Å
Æ
Õ
Ö
Cl
X
\
F
=
Cl
X
\
F
=
X
,
n
n
n
=
1
n
=
1
¥
co wobec definicji 35 zbioru brzegowego pokazuje,
Ň
e
8
F
jest zbiorem brzegowym w przestrzeni
X
.
n
=1
Definicja 74 (zbiorów typu
G
i
F
)
Zbiór, który mo
Ň
na przedstawi
ę
w postaci sumy przeliczalnej ilo
Ļ
ci zbiorów domkni
ħ
tych, nazywamy zbiorem
typu
F
, a zbiór który mo
Ň
na przedstawi
ę
w postaci iloczynu przeliczalnej ilo
Ļ
ci zbiorów otwartych, nazywamy
4
zbiorem typu
G
.
Przykład 75 (zbiory typu
G
i
F
)
(a) Łatwo zauwa
Ň
y
ę
,
Ň
e ka
Ň
dy podzbiór przestrzeni euklidesowej
postaci
(
a
,
b
)
,
(
a
,
b
]
,
[
a
,
b
)
lub
[
a
,
b
]
,
gdzie
a
,
b
Î
i
a
<
b
, jest zarówno zbiorem typu
F
jaki i
G
.
(b) Poka
Ň
emy,
Ň
e zbiór liczb wymiernych
8
jest zbiorem typu
F
, a zbiór liczb niewymiernych
I
jest
zbiorem typu
G
, je
Ļ
li zbiory te rozpatrywane s
Ģ
jako podzbiory przestrzeni euklidesowej
. Poniewa
Ň
zbiór
liczb wymiernych
8
jest zbiorem przeliczalnym, wi
ħ
c ustawiaj
Ģ
c go w ci
Ģ
g
q
,
q
,
q
,
2
dostajemy
1
2
3
¥
{ }
8
. A poniewa
Ň
ka
Ň
dy ze zbiorów
{ }
n
8
=
q
q
jest domkni
ħ
ty (gdy
Ň
jest jednopunktowy), to zbiór liczb
n
n
=
1
¥
¥
{ }
[
{ }
]
8
1
wymiernych
8
jest zbiorem typu
F
. I dalej, poniewa
Ň
8
8
i zbiory
I
=
\
=
\
q
=
\
q
n
n
n
=
1
n
=
1
s
Ģ
otwarte, to zbiór liczb niewymiernych
I
{ }
\
q
jest zbiorem typu
G
.
n
(c) Wykorzystujac twierdzenie Baire’a mo
Ň
na pokaza
ę
,
Ň
e zbiór liczb niewymiernych
I
nie jest zbiorem typu
F
(a st
Ģ
d,
Ň
e zbiór liczb wymiernych
8
nie jest zbiorem typu
G
). Istotnie, gdyby zbiór liczb niewymiernych
I
był zbiorem typu
F
, to byłby sum
Ģ
przeliczalnej ilo
Ļ
ci zbiorów domkni
ħ
tych, z których ka
Ň
dy byłby tak
naprawd
ħ
zbiorem brzegowym, gdy
Ň
sam zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem brzegowym. Poniewa
Ň
za
Ļ
zbiór liczb wymiernych jest sum
Ģ
przeliczalnej ilo
Ļ
ci zbiorów jednopunktowych, czyli domni
ħ
tych i
brzegowych, wi
ħ
c cała przestrze
ı
zupełna
(zob. przykład 71) dałaby si
ħ
przedstawi
ę
jako suma przeliczalnej
ilo
Ļ
ci zbiorów domkni
ħ
tych i brzegowych. Zgodnie z twierdzeniem Baire’a (zob. twierdzenie 73), byłaby ona
zbiorem brzegowym, tj.
Int
(
)
=
Æ
, a wiemy,
Ň
e tak nie jest. A zatem zbiór liczb niewymiernych
I
nie jest
zbiorem typu
F
, i co za tym idzie, zbiór liczb wymiernych
8
nie jest zbiorem typu
G
.
Kolejne twierdzenia podajĢ pewne cechy, które charakteryzujĢ przestrzenie metryczne zupełne i ich
podzbiory.
Twierdzenie 76
Je
Ň
eli
(
r
X
,
jest przestrzeni
Ģ
metryczn
Ģ
zupełn
Ģ
, to ka
Ň
dy jej domkni
ħ
ty podzbiór
M
te
Ň
stanowi przestrze
ı
metryczn
Ģ
zupełn
Ģ
.
Dowód
Musimy pokaza
ę
,
Ň
e przestrze
ı
metryczna
(
r
M
,
jest zupełna, tj.,
Ň
e ka
Ň
dy ci
Ģ
g punktów tej przestrzeni
spełniaj
Ģ
cy warunek Cauchy’ego jest zbie
Ň
ny (do punktu tej przestrzeni). We
Ņ
my zatem dowolny ci
Ģ
g
{ }
n
x
punktów przestrzeni
M
spełniaj
Ģ
cy warunek Cauchy’ego. Oczywi
Ļ
cie ci
Ģ
g ten spełnia równie
Ň
warunek
Cauchy’ego w przestrzeni „szerszej”, tj. w przestrzeni
(
r
X
,
, a poniewa
Ň
jest to przestrze
ı
zupełna, wi
ħ
c
taki,
Ň
e
. Korzystaj
Ģ
c z twierdzenia 38 (a)
, a poniewa
Ň
zbiór
M
jest
istnieje
x
Î
X
lim
x
n
=
x
x
Î
Cl
M
(
)
n
®
¥
domkni
ħ
ty, wi
ħ
c
x
Î
M
.
5
[ Pobierz całość w formacie PDF ]