wyklad 5, Matematyka studia, Algebra
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
1
Wykład 5
Rz
Ģ
d elementu grupy
Rz
Ģ
dem elementu
x grupy G z elementem neutralnym e nazywamy tak
Ģ
najmniejsz
Ģ
liczb
ħ
naturaln
Ģ
n,
Ň
e
x
n
=e
r(x)=n
Je
Ň
eli taka liczba nie istnieje, to rz
Ģ
d elementu x jest niesko
ı
czony, r(x)=¥
Przykład
Znajd
Ņ
rz
Ģ
d elementu
a=
Ö
1
2
3
Ô
grupy S
3
.
2
1
3
a
2
=
Ö
Å
Æ
1
2
3
Ô
Å
Æ
1
2
3
Õ
Ö
=
Ö
Å
Æ
1
2
3
Ô
2
1
3
2
1
3
1
2
3
r(a) =2
Twierdzenie 5.1.
Rz
Ģ
d dowolnego elementu grupy G jest równy rz
ħ
dowi podgrupy generowanej
przez ten element.
Dowód.
x Î G, r(x)=n,
H= {x, x
2
, …, x
n
=e} – podgrupa G generowana przez element x
|H|=n
Twierdzenie 5.2.
Je
Ļ
li x Î G, r(x)=n, to
x
k
=e Û n | k
Dowód.
k= qn+r, 0 £ r < n
x
k
=x
qn+r
= (x
n
)
q
×x
r
= x
r
¼
r=0
¼
k= qn
Twierdzenie 5.3.
Dowolna podgrupa H grupy cyklicznej G jest grup
Ģ
cykliczn
Ģ
.
Dowód.
Niech G =
¿
g
Ï
, H Í G
Ä
Å
Æ
Ä
Ä
Ô
Ä
2
1) Je
Ļ
li H={e}, to H jest cykliczn
Ģ
.
2) Jesli H={e}, to istnieje x Î H i x ¹ e.
Zatem x=g
n
Î H, n=min
Dla dowolnego h Î H, h = g
m
,
m = kn+r, 0 £ r < n
h = g
m
=g
kn+r
= (g
n
)
k
×g
r
St
Ģ
d
g
r
= (g
n
)
-k
×h Î H
¼
(poniewa
Ň
n – minimalne) r=0
¼
m= kn
g
m
= (g
n
)
k
H =
¿
g
n
Ï
Twierdzenie 5.4.
Rz
Ģ
d dowolnego elementu grupy sko
ı
czonej jest dzielnikiem rz
ħ
du tej grupy.
Dowód.
Wynika z twierdzenia Lagrange’a, poniewa
Ň
rz
Ģ
d dowolnego elementu jest
równy rz
ħ
dowi podgrupy, generowanej przez ten element.
Twierdzenie 5.5.
Je
Ň
eli grupa G jest sko
ı
czona rz
ħ
du n, to dla dowolnego
g Î G, g
n
= e.
Dowód.
Niech r(g) = m, oraz |G|=n. Na podstawie twierdzenia 5.4 n = mk.
Wtedy g
n
= g
mk
= (g
m
)
k
= e
k
=e.
Twierdzenie 5.6.
Je
Ň
eli p jest liczb
Ģ
pierwsz
Ģ
i |G| = p, to G jest grup
Ģ
cykliczn
Ģ
.
Dowód.
Dla dowolnego elementu g Î G, g
p
= e.
Rozpatrzmy podgrup
ħ
H =
¿
g
Ï
, wtedy |H| = p;
Poniewa
Ň
H – podgrupa G i |H|=|G|
¼
H = G.
Przykład
Multiplikatywna grupa klas reszt modulo m
Z
m
*
= { [k] = k mod m: k Î N, NWD(k,m)=1 }
z działaniem:
[x]•[y] =[ xy]
3
1) [1] Î Z
m
*
- element neutralny, poniewa
Ň
[x] •[1] = [x]
2) ([x] • [y]) • [z] = [x] • ([y] • [z])
3) [x] • [y] = [1]
Poniewa
Ň
NWD(x, m) = 1, to
xy + mq = 1
¼
xy mod m =1
¼
[x] • [y] = [1], tzn. [y] = [x]
-1
.
|Z
m
*
| = j(m)
Twierdzenie 5.7.
(Euler)
Je
Ļ
li NWD(n, m) = 1, to
n
j(m)
º 1 (mod m)
Dowód.
|Z
m
*
| = j(m)
[n]
j(m)
= [1]
[n]
j(m)
= [n
j(m)
] = [1]
¼
n
j(m)
º 1 (mod m)
Twierdzenie 5.8
. (Fermaut)
Je
Ļ
li p jest liczba pierwsz
Ģ
, to
n
p-1
º 1 (mod p)
Dzielnik normalny. Grupy ilorazowe
ƞ
Definicja.
Podgrup
ħ
(H, •) grupy (G, •) nazywamy
dzielnikiem normalnym
(lub
podgrup
Ģ
normaln
Ģ
) grupy (G, •), gdy dla "gÎG zachodzi równo
Ļę
H•g =
g•H. Zapisujemy H
0
G.
Twierdzenie 5.8.
Podgrupa H grupy G jest podgrup
Ģ
normaln
Ģ
grupy G wtedy i tylko wtedy gdy
g
-1
hg Î H dla dowolnych elementów g ÎG i h ÎH.
Dowód.
1.
Załó
Ň
my,
Ň
e H•g=g•H. Wówczas dla dowolnego elementu h ÎH, h•g Î
H•g=gH, chyli h•g=g•h
1
dla h
1
Î H. St
Ģ
d g
-1
•h•g=g
-1
•g•h
1
=h
1
Î H.
4
2.
Z drugiej strony, załó
Ň
my,
Ň
e g
-1
•h•g Î H dla dowolnych elementów
g ÎG i h ÎH dla "gÎG. Niech h•g Î Hg oraz g
-1
•h•g = h
1
Î H.
Wówczas h•g = g•h
1
Îg•H , sk
Ģ
d H•g Í g•H. Podobnie, g•h•g
-1
=
(g
-1
)
-1
•h•g
-1
= h
2
Î H. W resultacie g•h = h
2
•g Î H•g, sk
Ģ
d g•H Í H•g,
czyli H•g = g•H.
Wniosek.
Ka
Ň
da podgrupa grupy abelewej jest normalna.
Rozkład grupy G na warstwy wyznacza relacje równowa
Ň
no
Ļ
ci ~ i zbiór
ilorazowy G/H (na podstawie twierdzenia 4.3 oraz 1.3).
a ~ b Û a Î H•b
Twierdzenie
Je
Ļ
li H
0
G z działaniem •, to zbiór ilorazowy G/H z działaniem
(a•H)
° (b•H) = (a•b) •H
jest grup
Ģ
.
Dowód.
1) Działanie jest dobrze okre
Ļ
lone, tzn. nie zale
Ň
y od wyboru reprezentantów
klas. Niech c Î a•H i dÎb•H. Wyka
Ň
emy,
Ň
e (a•H)
° (b•H) = (c•H) ° (d•H)
Mamy c=a•u, d= b•v dla u,v ÎH.
Poniewa
Ň
H jest grup
Ģ
normaln
Ģ
, to h
1
•b = b•h
3
oraz u•b = b•h
4
dla
h
1
,h
2
, h
3
,h
4
Î H.
Mamy
(c•h
1
) •(
d•h
2
)= c•d•h
3
•h
2
= a•u•b•v• h
3
•h
2
= a•b•h
4
•h
3
•h
2
Î (a•b) •H, czyli
(c•d) •H = (a•b) •H.
2) Działanie jest ł
Ģ
czne, gdy
Ň
((a•H) °
(
b•H)) ° (c•H) = ((a•b) •H )°
(
c•H) =
(a•b) •c•H i podobnie (a•H)° ((b•H) ° (c•H)) = (a•H) ° ((b•c) •H)
= a• (b•c) •H. Poniewa
Ň
(a•b) •c = a• (b•c) w G, to (a•b) •c•H = a• (b•c) •H.
3) e•H – element neutralny, poniewa
Ň
(a•H)
° (e•H)= (a•e) •H=a•H oraz
(e•H)
° (a•H)=(e•a) •H=a•H.
4) (a•H)
-1
= a
-1
•H, poniewa
Ň
(a
-1
•H)
° (a•H) = (a
-1
•a) • H = e•H oraz
(a•H) ° (a
-1
•H) = (a
-1
•a) •H = e•H.
Definicje
Grup
ħ
(G/H, °) nazywamy
grup
Ģ
ilorazow
Ģ
.
5
Przykład
Podgrupa (3
Z
, +)
0
(
Z
, +)
Grupa ilorazowa (
Z
/3
Z
, Å ) = { 3
Z
, 1+3
Z
, 2+3
Z
}
Å
3
Z
1+3
Z
2+3
Z
3
Z
3
Z
1+3
Z
2+3
Z
1+3
Z
1+3
Z
2+3
Z
3
Z
2+3
Z
2+3
Z
3
Z
1+3
Z
Grup
ħ
G, której jedynymi podgrupami normalnymi s
Ģ
{e} oraz G, nazywamy
grupa prost
Ģ
.
Wniosek
Ka
Ň
da grupa, której rz
Ģ
d jest liczba pierwsz
Ģ
, jest grup
Ģ
prost
Ģ
.
[ Pobierz całość w formacie PDF ]