wyklad 22, fizyka, mechanika budowli, wykłady
[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Wykład 22 z MB
(Z. Waszczyszyn i K. Kłos, skrypt w przygotowaniu do druku)
9.2.5. Nośność graniczna belek i ram płaskich
Obliczanie nośności płaskich ustrojów prętowych może być znacznie uproszczone przez
przyjęcie modelu pręta ze
skupioną strefą plastyczną
(model materiału sztywno-plastycznego),
która odpowiada powstaniu przegubu plastycznego. Nośność liczymy dla
obciążeń jedno-
parametrowych
, tzn., że wszystkie składowe wektorów obciążeń przykładanych do ustroju
rosną proporcjonalnie do
jednego parametru obciążenia
m
. Na Rys. 9.13 pokazano belki
obciążone wektorem obciążeń:
P
=
{
P
1
,
P
2
}= m
P
*
, gdzie:
P
1
= m
P
1
*
i
P
2
= m
P
2
*
.
(9.32)
Należy podkreślić, że
wektor odniesienia
P
*
ma wymiar siły, tj. składowe tego wektora
maja [
P
i
*
] = kN, a
parametr obciążenia
m
, co oznacza, że parametr obciążenia jest
wymiarowy.
Na Rys. 9.13 pokazano belki obciążone dwoma siłami
P
1
=
m
i
P
2
= 2
m
.
Nośność
G
, dla którego w ustroju tworzą się prze-
guby plastyczne, które czynią ustrój chwiejny, tzn. zamieniają go w
mechanizm
. Zakładamy
przy tym, że między przegubami części ustroju są idealnie sztywne. Liczba przegubów
plastycznych wiąże się ze
stopniem statycznej niewyznaczalności
n
. W przypadku ustroju
statycznie wyznaczalnego wystarczy tylko jeden przegub, dla statycznie niewyznaczalnego
trzeba
n
+ 1 przegubów. Dalsze wyjaśnienia prowadzimy na przykładzie belki jedno-
przęsłowej, Rys. 9.13.
m
Rys.9.13: a, b) Belki statycznie wyznaczalna i niewyznaczalna, ich schemat statyczny,
mechanizm plastyczny i wykresy momentów zginających,
c) Model fizyczny dla sztywno-plastycznego zginania
Założenia
.
W dalszym ciągu opieramy się na następujących założeniach:
1. Rozpatrujemy
belki i ramy płaskie
, złożone z prętów zginanych,
obciążonych jedynie
siłami
lub momentami skupionymi
, tak że między węzłami i punktami charakterystycznymi
wykresy momentów są odcinkowo liniowe;
15
jest bezwymiarowy. W przypadku gdy np.
P
*
=
{1,2} kN czasami piszemy
P
1
= m ,
P
2
= 2m
graniczna jest osiągnięta dla wartości parametru
2. Zakładamy
model sztywno plastyczny dla momentów zginających
, Rys. 9.13c, gdzie w
przegubie plastycznym moment ma wartość momentu plastycznego
M
p
;
3. Stosujemy
dwie metody obliczania
nośności granicznej:
s
, dla
których są spełnione warunki równowagi i nie jest przekroczony warunek plastyczności
(moment zginający½
M
½£ M
p
) we wszystkich punktach ustroju;
m
b)
Metoda kinematyczna
polega na obliczaniu wartości parametrów obciążenia
m
k
przy
założeniu takiej liczby przegubów plastycznych, które uczynią ustrój mechanizmem.
Rys.9.14 a ) Schemat analizowanej belki, b) Przyjęty układ podstawowy MS,
c) Mechanizmy i uogólnione przemieszczenia, d) Statycznie dopuszczalne wykresy
momentów zginających, odpowiadające mechanizmom na Rys. 9.14c
Tworzenie mechanizmu
Ustrój będzie przechodził w mechanizm na skutek tworzenia się przegubów plastycznych.
Liczba przegubów plastycznych wynosi
p
£
n
+ 1,
(9.33)
gdzie:
n
stopień statycznej niewyznaczalności ustroju. Przeguby plastyczne mogą tworzyć
się
w punktach charakterystycznych
, którymi mogą być: 1) punkty osi prętów układu
prętowego, w których są przykładane uogólnione siły skupione, 2) węzły, w których schodzą
się pręty lub są podpory, 3) punkty nieciągłości wskaźnika plastycznego wytrzymałości
W
p
.
-
Mechanizm typowy
jest określony liczbą przegubów
p
:
p
=
n
+ 1 .
(9.34)
Przypadek
p
<
n
+ 1 występuje w
mechanizmach lokalnych
, tj. w prętach brzegowych lub
częściach statycznie wyznaczalnych rozpatrywanych konstrukcji
prętowych.
Dalej rozpatrujemy mechanizmy typowe.
Liczba
typowych mechanizmów
m
jest równa
liczbie kombinacji
16
a)
Metoda statyczna
polega na obliczaniu takiej wartości parametrów obciążenia
m
=
( )
( )
s
=
s
!
,
(9.35)
n
+
1
[
( )
]
n
+
1
!
s
-
n
+
1
!
gdzie:
s
-
liczba punktów charakterystycznych.
3 ma dwa razy większy moment plastyczny 2
M
p
niż pozostałe elementy.
Belka rozpatrywana na Rys. 9.14 jest
n
= 1 statycznie niewyznaczalna, stąd potrzeba
p
=
n
+ 1 = 2 przegubów plastycznych, aby belka zamieniła się w mechanizm. Liczba punktów
charakterystycznych dla belki na Rys. 9.14b wynosi
s
= 3, skąd wynika liczba mechanizmów
m
= )
-
(
2
= 3, które piszemy jako możliwe kombinacje punktów charakterystycznych:
(1,2) , (2,3) , (3, 1) .
(9.36)
Na Rysunkach 9.14c pokazano mechanizmy odpowiadające przegubom plastycznym o
liczbie wynikającej z (9.36). Na rysunkach mechanizmów przy przegubach zaznaczono
wartości obrotów przegubów plastycznych i przemieszczeń w punktach przyłożenia obciążeń.
Metoda statyczna.
Przyjmujemy jeden z możliwych schematów podstawowych metody sił z niewiadomymi
siłami hiperstatycznymi. Na Rys.9. 14b pokazano wspornik z siłą hiperstatyczną
X
. Dla tego
schematu piszemy równania równowagi momentów w punktach charakterystycznych:
Teraz możemy napisać równania równowagi dla przegubów i dodatkowe równania dla
punktu, w którym nie zakładamy istnienia przegubu. Niżej piszemy takie równania dla
pierwszego przypadku z (9.36)
(9.37)
X l
=
M
p
,
(1, 2):
2 X l
– m
l
= –
M
p
,
(9.38)
M
3
=
3 X l
–
4
m
l
.
Z dwóch pierwszych równań obliczamy wartość reakcji hiperstatycznej
X
i parametru
obciążenia
m
:
X
=
M
p
,
m
=
3
M
p
(9.38a)
l
l
oraz moment w punkcie 3, w którym nie założono powstania przegubu plastycznego:
M
3
= 3
M
p
– 4 ´ 3
M
p
= – 9
M
p
.
(9.38b)
Ponieważ w punkcie 3 może powstać co najwyżej moment plastyczny – 2
M
p
dlatego
wprowadzamy
mnożnik korekcyjny
poprawiający wartość parametru
m
k
=
-
2
M
p
=
2
®
=
k
=
2
M
p
,
X
s
=
2
M
p
.
(9.39)
s
M
9
3
l
9
l
3
17
Przykład belki jednoprzęsłowej
. W dalszym ciągu objaśniamy obydwie metody na
przykładzie belki jednoprzęsłowej o danych pokazanych na Rys. 9.14a.Belka składa się z
trzech elementów o węzłach odpowiadających trzem punktom charakterystycznym. Element
belki 2
M
1
=
X l
M
2
= 2
X l
– m
l
,
M
3
= 3
X l
– 4 m
l
.
i siły hiperstatycznej
X
tak, aby nie została przekroczona wartość momentu plastycznego w przegubach plastycznych:
Podstawienie (9.39) do (9.37) daje wartości momentów w punktach charakterystycznych:
M
1s
=
2
M
p
,
M
2s
=
-
2
M
p
,
M
3s
=
-
2
M
p
.
(9.40)
Na Rys. 9.14d pokazano wykres momentów zginających dla przypadków (
i
,
j
) przewi-
dywanych przegubów. Okazuje się, że statyczna dopuszczalność (nieprzekraczanie wartości
momentu plastycznego) w punkcie 3 prowadzi do pojawienia się przegubu plastycznego w
tym punkcie i znikania założonych wcześniej przegubów plastycznych w punktach 1 i 2.
Wyżej opisany algorytm jest powtarzany dla wstępnego wyboru przegubów plastycznych
(2, 3) co daje następujące równanie i ciąg rozwiązywania
l
=
M
p
,
(2,3): 3
X l
– 4 m
l
= –2
M
p ,
m
(9.41)
M
1
=
X l
,
skąd obliczamy:
X
=
6
p
5
M
,
m
=
7
M
p
,
M
1
=
6
M
®
k
=
6
5
,
(9.41a)
p
l
5
l
5
m
s
=
7
M
p
,
X
s
=
M
p
,
M
1s
=
p
M
,
M
2s
=
5
M
,
M
3s
= –
5
M
.
p
p
6
l
l
6
3
Obliczenia wykonane dla wstępnego wyboru przegubów (3,1) dają wartości:
(3,1):
k
= 1 ,
m
s
=
5
M
p
,
M
1s
=
M
p
,
M
2s
=
3
M
,
M
3s
= –
2
M
.
(9.42)
4
l
5
p
p
Ponieważ obliczony moment
nie przekracza założonej wartości momentu plastycznego
przekroju poprzecznego, tj. 2
M
p
, to rozwiązanie (9.42) jest
statycznie dopuszczalne
.
Wykresy momentów dla kombinacji przegubów plastycznych (9.36) zostały narysowane
na Rys. 9.3d
M
3
|
Jeśli zbudujemy zbiór obliczonych wartości statycznych parametrów obciążenia, to
możemy zastosować
twierdzenie statyczne teorii noŚnoŚci granicznej
[1]:
Jeśli ustrój jest w stanie równowagi i w żadnym punkcie charakterystycznym nie jest
przekroczy stan graniczny nośności plastycznej przekroju to nośność graniczna ustroju
odpowiada maksymalnej wartości parametru obciążenia
:
m
G
=
max
s
{
m
s
},
(9.43)
gdzie
: m
s
-
wartość parametru obciążenia dla statycznie dopuszczalnego stanu naprężeń
.
Wracamy do rozpatrywanego przykładu. Dla belki z Rys. 9.14 niżej podano uporząd-
kowane wartości
m
s,
skąd wynika, że maksymalna wartość
m
s
=
m
G
jest równa nośności
granicznej ustroju:
m
G
=
max
2
M
p
,
7
M
p
,
5
M
p
=
5
M
p
.
(9.44)
3
l
6
l
4
l
4
l
18
9
9
2
X l
–
|
Otrzymane rozwiązanie statyczne jest nazywane stanem granicznym, gdyż daje mechanizm
(3,1), pokazany na Rys. 9.14c.
Metoda kinematyczna
.
Ta metoda opiera się na zastosowaniu mechanizmów i obliczanie ich chwilowego stanu
równowagi. W tym celu jest stosowana
zasada prac wirtualnych
:
Jeśli ustrój jest w stanie równowagi i spełnione są zewnętrzne więzy kinematyczne i
równania geometryczne to praca naprężeń na wirtualnych odkształceniach jest równa
pracy obciążeń na wirtualnych przemieszczeniach
.
Zasada prac wirtualnych odnosi się też do wielkości uogólnionych (momenty zginające-
względne kąty obrotów)
W
przypadku belek i ram zasada prac wirtualnych przyjmuje postaĆ
∑
M
p
i
θ
i
=
k
∑
P
*
u
j
,
(9.45)
i
j
gdzie lewa strona (9.45) jest pracą momentów na względnych obrotach
q
i
(wirtualne krzywiz-
ny) w przegubach plastycznych, a prawa strona jest pracą obciążeń
P
j
=
u
j
P
j
na wirtualnych
przemieszczeniach
u
j
(są one zgodne z więzami, a więc też obrotami
i
θ
). W (9.45)
P
są
składowymi wektora konfiguracji obciążeń.
W odniesieniu do rozpatrywanego przykładu belki z Rys. 9.14a posługujemy się
mechanizmami z Rys. 9.14c. Należy tylko dodać, że znaki momentów
M
p
oraz kątów obrotu
q
(1,2):
2
M
θ
+
M
θ
=
θ
l
®
m
=
3
M
p
,
p
p
k
l
(2, 3):
M
p
3
θ
+
2
M
θ
=
θ
l
+
2
θ
l
®
m
k
=
8
M
p
(9.46)
p
,
2
2
5
l
P
θ
3
θl
5
M
(3, 1): 2
M
+
M
θ
=
θ
l
+
2
®
m
=
p
p
k
.
2
2
2
4
l
Dalej stosujemy
twierdzenie kinematyczne noŚnoŚci granicznej
[1], które mówi:
Nośność graniczna jest określana minimalną wartością kinematycznego parametru
obciążenia dla kinematycznie dopuszczalnych mechanizmów
:
m
G
=
min
k
{
m
k
}.
(9.47)
W przypadku rozpatrywanej belki mamy zgodnie z (9.47):
m
G
= min
3
M
p
,
8
M
p
,
5
M
p
=
5
M
p
.
(9.48)
l
5
l
4
l
4
l
19
j
i
są zgodne więc możemy dalej stosować zasadę prac wirtualnych bez zwracania uwagi na
zwroty momentów ze względu na dodatnia wartość iloczynu
M
p
i
q
i
w sumie pop prawej
stronie wzoru (9.45):
[ Pobierz całość w formacie PDF ]